【正文】 )6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa??????333231232221131211aaaaaaaaa（ 6） 式稱為數(shù)表 （ 5） 所確定的 三階行列式 . (1) 對角線法則 2. 三階行列式的計(jì)算 333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?322113 aaa?312312 aaa?312213 aaa? 332112 aaa?注意 紅線上三元素的乘積冠以正號， 藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號． 333231232221131211aaaaaaaaaD ?323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(2) 沙路法 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D說明 (1) 對角線法則只適用于二階與三階行列式． (2) 三階行列式包括 3!項(xiàng) ,每一項(xiàng)都是位于不同行 ,不同列的三個(gè)元素的乘積 ,其中三項(xiàng)為正 ,三項(xiàng)為負(fù) . 解 ： 按主對角線法，有 ?D 1 2 ( 2 )? ? ?4 6 32 24 8 4? ? ? ? ? ? ?.14??例 1 計(jì)算三階行列式 1 2 42 2 13 4 2D?????2 1 ( 3 )? ? ? ? ( 4 ) ( 2 ) 4? ? ? ? ?( 4 ) 2 ( 3 )? ? ? ? ? 2 ( 2 ) ( 2 )? ? ? ? ? 1 1 4? ? ? 三元線性方程組 ??????????????。線性代數(shù) 主講人：周小輝 324xyxy???? ???32 2 4x y zx y z? ? ??? ? ? ??3242 2 5xyxyxy???????? ???11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??線性方程組的舉例 線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容 ◆ 第一章 行列式 ◆ 第二章 矩陣 ◆ 第三章 線性方程組 ◆ 第四章 向量空間 ◆ 第五章 矩陣的特征值與特征向量 ◆ 第六章 二次型 第一節(jié) n階行列式 第二節(jié) 行列式的性質(zhì) 第三節(jié) 行列式按行 (列 )展開 第四節(jié) 克拉默法則 第五節(jié) 應(yīng)用舉例 第一章 n 階行列式 用消元法解二元線性方程組 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa ??1??2? ? :1 22a? ,2212221212211 abxaaxaa ??? ? :2 12a? ,1222221212112 abxaaxaa ??2x兩式相減消去 ，得?二階行列式的引入 第一節(jié) n 階行列式 。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa設(shè)其系數(shù)行列式 333231232221131211aaaaaaaaaD ?,0? 利用三階行列式求解三元線性方程組 的解。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ???????????????。,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaD ??,3333123221131112abaabaabaD ? .3323122221112113baabaabaaD ?則三元線性方程組的解為 : ,DDx 11 ? ,22 DDx ? .33 DDx ?333231232221131211aaaaaaaaaD ? ,3332323222131211aabaabaabD ?解：系數(shù)行列式 例 2 解線性方程組 1 2 31 2 31 2 3203 2 5 13 2 4x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ? ? ??32 1 03 2 11 3 4D??于是方程組的解為 2 1 13 2 51 3 2D????10 1 11 2 54 3 2D????22 0 13 1 51 4 2D ???2 8 0??13,? 47,? 21,?1328? ，22DxD?47 ,28?33DxD?2 1 3 .2 8 4??11 Dx D?8 5 9 2 6 30? ? ? ? ? ? ?.094321112?xx求解方程例 3 解 方程左端 23Dx?,652 ??? xx2 5 6 0xx? ? ?由 解得 ?? xx 或4x? 18? 9x?22x?12?(1) 對角線法則 回顧 三階行列式的計(jì)算 333231232221131211aaaaaaaaa332211 aaa?.322311 aaa?322113 aaa?312312 aaa?312213 aaa? 332112 aaa?注意 紅線上三元素的乘積冠以正號， 藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號． 323122211211aaaaaa? ? ????.312213332112322311 aaaaaaaaa ???(2) 沙路法 322113312312332211 aaaaaaaaa ???D333231232221131211aaaaaaaaaD ?問題 ： 為什么紅線位置元素乘積時(shí)都是 “ +”號，而藍(lán)線位置元素相乘時(shí)都是 “ ”號，正負(fù)號由什么來確定呢？ 214 13243 1314 不是排列 不是排列 不是排列 n 級排列 的要點(diǎn) ? 每個(gè)數(shù)必須出現(xiàn)一次 ? n個(gè)數(shù)中不能有重復(fù)數(shù) ? 不能有大于 n的數(shù) ? 不同排列總個(gè)數(shù) n! 321 3級排列 3142 4級排列 定義 由 n個(gè)不同數(shù)碼 1， 2， … ， n組成的有序數(shù)組，稱為一個(gè) n級排列 , 用 12 ni i i 表示。 2。 ( 231 ) 2,? ? ( 312 ) 2? ?答案：行排列為自然序時(shí)，符號由該項(xiàng)列排列的逆序數(shù)決定。 n !n 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積 。 可將給定的項(xiàng)改為行標(biāo)按自然順序，即 53432251 aaaaa ki則 ? (1 5 2 4 3) = 4，是 偶排列 ， 該項(xiàng)則帶正號， 對換 1， 4的位置， 則 4 5 2 1 3是 奇排列 。 1 2 1 2( ) , ( )nni i i j j j是兩個(gè) n級排列。 主對角線以下的元素全為 0（即 ij時(shí)元素 aij＝ 0）的行列式稱為 上三角行列式 ，它等于主對角線上各元素的乘積。0 0 0 0 0 10 0 0 0 0nn?解： (1) 根據(jù)行列式的定義， nD 中的一般項(xiàng)為 ? ? ? ?12 12121,n nj j j j j n ja a a??其中，僅當(dāng) 1 2 12 , 3 , , , 1nnj j j n j?? ? ? ?時(shí)，該項(xiàng)不為零． 所以， ? ? ? ?( 23 1 ) 11 1 2 1 ! .nD n n? ?? ? ? ? ? ? ?(2) 根據(jù)行列式的定義，該５階行列式的一般項(xiàng)為 ? ? ? ?1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 2 3 4 51 j j j j j j j j j ja a a a a??我們注意到：當(dāng) 3 4 5,j j j等于 3,4,5 時(shí)， ? ?0 , 3 , 4 , 5 .iijai??由于 3 4 5,j j j為 1, 2 , 3, 4 , 5中的三個(gè)不同的數(shù)，所以，無 論如何取，至少要取到 3,4,5 中的一個(gè)數(shù)．故一般項(xiàng)中 至少有一個(gè)因子等于零，于是，該行列式的每一項(xiàng)都 是零，從而該行列式等于 0． ? ?1 1 1 1 12 2 2 1 13344550 0 020 0 00 0 0..a b c d ea b c d eababab1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)