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正文內(nèi)容

數(shù)列-必修5-人教a版-數(shù)學(xué)(編輯修改稿)

2025-02-14 01:37 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 n - 1= 2( n ≥ 2) ,因而可用累加法處理. │ 典例類(lèi)析 解: ∵ a1= 1 ,當(dāng) n ≥ 2 時(shí),有anan - 1-2an - 1= 1 , ∴ an- an - 1= 2 , ∴ a2- a1= 2 , a3- a2= 2 , a4- a3= 2 , ? ,an- an - 1= 2 , 將上面 n - 1 個(gè)式子相加可得 an- a1= 2( n - 1) , ∴ an- 1 = 2 n - 2 , ∴ an= 2 n - 1 ,也適合 n = 1 的情況. ∴ an= 2 n - 1. │ 典例類(lèi)析 [ 點(diǎn)評(píng) ] 在運(yùn)用累加法時(shí),要注意是 n - 1 個(gè)式子相加,同時(shí)成立的條件是 n ≥ 2 ,求出 an后要對(duì) n = 1 的情況加以檢驗(yàn),若成立,則合成一個(gè)公式,若不成立,則寫(xiě)成分段函數(shù)形式. │ 典例類(lèi)析 ? 題組四 數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題 【例題演練】 例 1 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a n =n2n2+ 1. 則此數(shù)列為_(kāi) _ _ _ _ _ _ _ 數(shù)列 ( 填遞增或遞減 ) . [答案 ] 遞增 │ 典例類(lèi)析 [ 解析 ] a n + 1 - a n =? n + 1 ?2? n + 1 ?2+ 1-n2n2+ 1 =2 n + 1[ ? n + 1 ?2+ 1] ? n2+ 1 ?> 0. ∴ 此數(shù)列為遞增數(shù)列. │ 典例類(lèi)析 [點(diǎn)評(píng) ] 判斷一個(gè)數(shù)列的單調(diào)性,可以利用遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的定義進(jìn)行判斷,通常轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)數(shù)列 {an}的任意相鄰兩項(xiàng)之間的大小關(guān)系來(lái)確定. 例 2 已知函數(shù) f ( x ) = x -1x. 數(shù)列 { an} 滿(mǎn)足 f ( an) =- 2 n ,且 an> 0. ( 1 ) 求數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式; ( 2 ) 判斷數(shù)列 { an} 的增減性. │ 典例類(lèi)析 [ 分析 ] 解答本題可先根據(jù)已知條件解方程求 an,然后利用作差或作商法判斷數(shù)列 { an} 的增減性. │ 典例類(lèi)析 解: ( 1 ) ∵ f ( x ) = x -1x, f ( an) =- 2 n . ∴ an-1an=- 2 n . 即 a2n+ 2 nan- 1 = 0 , 解得 an=- n 177。 n2+ 1 , ∵ an> 0 , ∴ an= n2+ 1 - n . │ 典例類(lèi)析 ( 2 ) 解法一: ( 作差法 ) ∵ an+1- an= ? n + 1 ?2+ 1 - ( n + 1) - ( n2+ 1 - n ) = ? n + 1 ?2+ 1 - n2+ 1 - 1 =[ ? n + 1 ?2+ 1 - n2+ 1 ][ ? n + 1 ?2+ 1 + n2+ 1 ]? n + 1 ?2+ 1 + n2+ 1- 1 =? n + 1 ? + n? n + 1 ?2+ 1 + n2+ 1- 1 , 顯然 ? n + 1 ?2+ 1 > n + 1 , n2+ 1 > n , ∴? n + 1 ? + n? n + 1 ?2+ 1 + n2+ 1< 1 , ∴ an+1- an< 0 ,即 an+1< an. ∴ 數(shù)列 { an} 是遞減數(shù)列. │ 典例類(lèi)析 解法二: ( 作商法 ) ∵ an> 0 , ∴an + 1an=? n + 1 ?2+ 1 - ? n + 1 ?n2+ 1 - n =[ ? n + 1 ?2+ 1 - ? n + 1 ? ] ? n2+ 1 + n ? [ ? n + 1 ?2+ 1 + ? n + 1 ? ]? n2+ 1 - n ?? n2+ 1 + n ? [ ? n + 1 ?2+ 1 + ? n + 1 ? ] =n2+ 1 + n? n + 1 ?2+ 1 + ? n + 1 ?< 1 , ∴ an + 1< an, ∴ 數(shù)列 { an} 是遞減數(shù)列. │ 典例類(lèi)析 [ 點(diǎn)評(píng) ] 本題中用了兩種方法判斷數(shù)列的單調(diào)性,其中對(duì)an + 1- an和an + 1an的變形是解題的關(guān)鍵,在這里分別使用了分子有理化和分母有理化,對(duì)這兩種變形方式,同學(xué)們應(yīng)熟練掌握. 判斷一個(gè)數(shù)列的單調(diào)性,可以利用遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的定義進(jìn)行,通常轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)數(shù)列 { an} 的任意相鄰兩項(xiàng)之間的大小關(guān)系來(lái)確定. │ 典例類(lèi)析 1 . 作差比較法 ( 1 ) 若 an + 1- an> 0 恒成立 , 則數(shù)列 { an} 是遞增數(shù)列 ; ( 2 ) 若 an + 1- an< 0 恒成立 , 則數(shù)列 { an} 是遞減數(shù)列 ; ( 3 ) 若 an + 1- an= 0 恒成立 , 則數(shù)列 { an} 是常數(shù)列 . │ 典例類(lèi)析 2 .作商比較法 ( 1 ) 若 an> 0 ,則 當(dāng)an + 1an> 1 時(shí),數(shù)列 { an} 是遞增數(shù)列; 當(dāng)an + 1an< 1 時(shí),數(shù)列 { an} 是遞減數(shù)列. ( 2 ) 若 an< 0 ,則 當(dāng)an + 1an< 1 時(shí),數(shù)列 { an} 是遞增數(shù)列; 當(dāng)an+1an> 1 時(shí),數(shù)列 { an} 是遞減數(shù)列. ( 3 ) 若 an≠ 0 ,當(dāng)an + 1an= 1 時(shí),數(shù)列 { an} 是常數(shù)列. │ 典例類(lèi)析 【變式鞏固】 已知數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式為 an= 9 n - 2 n2+ 3 ,則數(shù)列 { an}中的最大項(xiàng)為 ( ) A . 1 0 B . 12 C . 1 3 D .1 0 58 [答案 ] C │ 典例類(lèi)析 [ 解析 ] ∵ an= 9 n - 2 n2+ 3 =- 2????????n -942+1 0 58, 又 ∵ n ∈ N*,且 2 <94< 3 , 3 -94>94- 2 , ∴ n = 2 時(shí), an有最大值為- 2 22+ 9 2 + 3 = 13 , 故數(shù)列 { an} 中的最大項(xiàng)為 a2= 1 3 . │ 典例類(lèi)析 [ 點(diǎn)評(píng) ] 數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù) , 在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解數(shù)列問(wèn)題時(shí) , 要注意它的定義域是 N*或它的子集{1 , 2 , 3 , ? , n } 的這一約束條件 . 本題中若沒(méi)有考慮到數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào) n 為正整數(shù)的情況 , 易錯(cuò)解得答案 : 最大項(xiàng)為1 0 58. │ 典例類(lèi)析 等差數(shù)列 │ 三維目標(biāo) 三維目標(biāo) 1.知識(shí)與技能 (1)理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì);了解通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程; (2)掌握通項(xiàng)公式. 2.過(guò)程與方法 (1)通過(guò)對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察能力及歸納推理能力; (2)通過(guò)等差數(shù)列變形公式的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性. 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān) 通過(guò)等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察、分析能力及積極思維,追求新知的創(chuàng)新意識(shí). │ 三維目標(biāo) │ 重點(diǎn)難點(diǎn) [重點(diǎn) ] 理解等差數(shù)列的概念,探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題. [難點(diǎn) ] 1.等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用. 2.概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,以及從函數(shù)、方程的觀(guān)點(diǎn)看通項(xiàng)公式 . 重點(diǎn)難點(diǎn) │ 教學(xué)建議 1.本節(jié)課先在具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念,接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,并能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì).可見(jiàn)本課內(nèi)容的安排旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察分析、歸納猜想、應(yīng)用能力.結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn),宜采用指導(dǎo)自主學(xué)習(xí)方法,即學(xué)生主動(dòng)觀(guān)察 —— 分析概括 ——師生互動(dòng),形成概念 —— 啟發(fā)引導(dǎo),演繹結(jié)論 —— 拓展開(kāi)放,鞏固提高.在學(xué)法上,引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索,同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑,學(xué)會(huì)探究; 教學(xué)建議 │ 教學(xué)建議 2.在教學(xué)過(guò)程中,遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程,激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)揮他們的主觀(guān)能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)他們的求知欲,培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的認(rèn)知能力. │ 新課導(dǎo)入 [導(dǎo)入 ] 師:上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法 —— 列舉法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列的例子: (1)0,5,10,15,20,25, ? ; (2)48,53,58,63, ? ; (3)18,13,8,, ? ; (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360, ?. 新課導(dǎo)入 │ 新課導(dǎo)入 請(qǐng)你們來(lái)寫(xiě)出上述四個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng). 生:第一個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)為 30,第二個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)為 78,第三個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)為 3,第四個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)為 10 504. 師:我來(lái)問(wèn)一下,你依據(jù)什么寫(xiě)出了這四個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)呢?以第二個(gè)數(shù)列為例來(lái)說(shuō)一說(shuō). 生:這是由第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多 5,依據(jù)這個(gè)規(guī)律我得到了這個(gè)數(shù)列的第 7項(xiàng)為 78. 師:說(shuō)得很有道理!我再請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀(guān)察一下,看看以上四個(gè)數(shù)列有什么共同特征?我說(shuō)的是共同特征. 生:每相鄰兩項(xiàng)的差相等,都等于同一個(gè)常數(shù). │ 新課導(dǎo)入 師:作差是否有順序,誰(shuí)與誰(shuí)相減? 生:作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng),不能顛倒. 師:以上四個(gè)數(shù)列的共同特征:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù) (即等差 ),我們給具有這種特征的數(shù)列起一個(gè)名字 —— 等差數(shù)列. 這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容. 第 1課時(shí) 等差數(shù)列(一) 第 1課時(shí) │ 新課感知 新課感知 觀(guān)察下列數(shù)列: (1) 德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯八歲計(jì)算 1 + 2 + 3 + ? + 100 =?時(shí),所用到的數(shù)列: 1, 2,3,4 , ? , 100 ; (2) 姚明剛進(jìn) NBA 一周里每天訓(xùn)練 罰.球的個(gè)數(shù)依次是:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000 ; (3) 匡威運(yùn)動(dòng)鞋 ( 女 ) 的尺碼 ( 鞋底長(zhǎng),單位 c m) : 2212, 23,2312, 24,2412, 25,2512, 26 數(shù)列 (1) 、 (2) 、 (3) 有何共同點(diǎn)? 第 1課時(shí) │ 新課感知 解:數(shù)列 (1)、 (2)、 (3)的共同點(diǎn)是從第 2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差恒定. 第 1課時(shí) │ 自學(xué)探究 自學(xué)探究 ? 知識(shí)點(diǎn)一 等差數(shù)列的定義 一 般 地 , 如 果 一 個(gè) 數(shù) 列 從_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差 ( 常用字母 “ d ” 表示 ) . 第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù) an- an- 1= d(n≥2, n∈ N*) (1)定義中“從第 2項(xiàng)起”是說(shuō)必須從第 2項(xiàng)起才能保證數(shù)列中各項(xiàng)均與其前面一項(xiàng)作差,如若不然,從第 3項(xiàng) (或第 4項(xiàng)
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