【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 連結(jié)PF， ∵EF垂直平分BP， ∴PF=BF， 設(shè)AF=x，則PF=BF=12﹣x， ∴在△APF中，42+x2=（12﹣x）2， ∴x=， ∴AF=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 試題３、（2015春霸州市期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E． （1）試說(shuō)明EO=FO； （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論； （3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO． （2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形． （3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答． 【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE， ∵M(jìn)N∥BC， ∴∠OEC=∠ECB， ∴∠OEC=∠OCE， ∴OE=OC， 同理，OC=OF， ∴OE=OF． （2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形． 如圖AO=CO，EO=FO， ∴四邊形AECF為平行四邊形， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ACB， 同理，∠ACF=∠ACG， ∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=180176。=90176。， ∴四邊形AECF是矩形． （3）△ABC是直角三角形 ∵四邊形AECF是正方形， ∴AC⊥EN，故∠AOM=90176。， ∵M(jìn)N∥BC， ∴∠BCA=∠AOM， ∴∠BCA=90176。， ∴△ABC是直角三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對(duì)等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對(duì)（3）進(jìn)行判斷．解答時(shí)不僅要注意用到前一問(wèn)題的結(jié)論，更要注意前一問(wèn)題為下一問(wèn)題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用． 試題４、（2015春萬(wàn)州區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在四邊上，EH∥BC，GF∥AB，EH與FG交于點(diǎn)O，且AE=AG，若AE比CH長(zhǎng)2，△BOF的面積為 （1）求正方形ABCD的面積； （2）設(shè)AE=a，BE=b，求代數(shù)式a4+b4的值． 【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，由于EH∥BC，GF∥AB，得出四邊形AEOG是正方形，四邊形AEHD，EBFO，GOHD是矩形，根據(jù)△BOF的面積為，得到矩形EBFO的面積=3，設(shè)AE=OE=DH=x，BE=CH=y，列出，即可得到結(jié)果； （2）由（1）求得AE=3，BE=1，代入即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD， ∵EH∥BC，GF∥AB， ∴四邊形AEOG是正方形，四邊形AEHD，EBFO，GOHD是矩形， ∴AE=DH，BE=CH， ∵△BOF的面積為， ∴矩形EBFO的面積=3， 設(shè)AE=OE=DH=x，BE=CH=y， ∴， ∴， ∴AEE=3，BE=1， ∴AB=AE+BE=4， ∴正方形ABCD的面積=44=16； （2）由（1）求得AE=3，BE=1， ∴a=3，b=1， ∴a4+b4=34+11=82． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，正方形的面積，三角形的面積，充分利用已知條件列方程組求出各線段是解題的關(guān)鍵． 試題５、（2015春冷水江市校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分別為AD、BC中點(diǎn)．連結(jié)AF、HG、AH． （1）求證：AF=HG； （2）求證：∠FAD=∠GHC； （3）試探究∠FAH與∠AFE的關(guān)系． 【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得出AE=HC，AE∥HC，求出四邊形AHCE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AH=EC，AH∥EC，求出四邊形AHGF是平行四邊形，即可得出答案； （2）根據(jù)平行線得出∠FAH+∠AHG=180176。，求出∠DAH=∠AHB，根據(jù)∠AHB+∠AHG+∠GHC=180176。即可得出答案； （3）過(guò)A點(diǎn)作AM∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠MAF=∠AFE，求出MA⊥AH，根據(jù)垂直得出∠MAF+∠FAH=90176。，即可得出答案． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，且E、H分別為AD、BC的中點(diǎn)， ∴AE=HC，AE∥HC， ∴四邊形AHCE為平行四邊形， ∴AH=EC，AH∥EC， 又∵四邊形ECGF為正方形， ∴EC=FG，EC∥FG， ∴AH=FG，AH∥FG， ∴四邊形AHGF是平行四邊形， ∴AH=FG； （2）證明：∵四邊形AHGF是平行四邊形， ∴∠FAH+∠AHG=180176。， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAH=∠AHB， 又∵∠AHB+∠AHG+∠GHC=180176。， ∴∠FAD=∠GHC； （3）∠FAH+∠AFE=90176。， 證明：過(guò)A點(diǎn)作AM∥EF， 則∠MAF=∠AFE， ∵AM∥EF，AH∥EC，F(xiàn)E⊥EC， ∴MA⊥AH， ∴∠MAF+∠FAH=90176。， ∴∠FAH+∠MAF=90176。． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 三、 正方形與菱形綜合 試題１、（2012深圳模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以對(duì)角線BD為邊作菱形BEFD，點(diǎn)C、E、F在同一直線上． （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求CE的長(zhǎng)． 【分析】（1）首先連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四邊形BEFD是菱形，易求得BE=BD=2，由BD∥EF，可求得EH=OC=，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得∠EBC的度數(shù)； （2）首先過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，即可得△ECG是等腰直角三角形，然后設(shè)EG=CG=x，在Rt△BEG中，由BE2=BG2+EG2，可得方程：（2）2=（2+x）2+x2，解此方程即可求得EG的長(zhǎng)，繼而求得CE的長(zhǎng)． 【解答】解：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H， ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2， ∴BD=AC=2，AC⊥BD， ∴OC=AC=， ∵四邊形BEFD是菱形， ∴BE=BD=2，BD∥EF， ∵點(diǎn)C、E、F在同一直線上， ∴EH=OC=， 在Rt△BEH中，sin∠EBH===， ∴∠EBH=30176。， ∴∠EBC=∠DBC﹣∠EBH=45176。﹣30176。=15176。； （2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G， ∵BD∥EF， ∴∠ECG=∠DBC=45176。， ∴△ECG是等腰直角三角形， ∴EG=CG， 設(shè)EG=x， 則BG=BC+CG=2+x， 在Rt△BEG中，BE2=BG2+EG2， 即（2）2=（2+x）2+x2， 即2x2