【文章內(nèi)容簡介】 )()(???ttyyxx???59 例如：阻力 R=－ bv， 建立坐標(biāo)系 如圖 ， 運(yùn) 動 微 分 方程 : v?R?gm?Oyx投影方程 : 60 再積分： 同理可得： y61 (3)和 (4)消去 t得軌道方程 : 若阻力較小 (b很小 )或 x很小 : 62 由此可見： (1) 若阻力較小 (b很小 )或 x很小 , 可以忽略 x3以上的項 ， 與真空中彈道一致 。 (2)當(dāng) mvx0bx→ 0, y → 無窮 , 說明軌道在 x=mvx0/b處變成豎直直線 。 63 3. 力僅是坐標(biāo)的函數(shù) F=F(x), 振動問題 1)一維諧振動： 2)三維諧振動： 、速度和時間的函數(shù)（如阻尼受迫振動） : ?????????kxxmikxF???? ????????????zkzmykymxkxmzyx??????ptHxmkxxm s i n???? ??? ?(例子自學(xué) ) 64 歸納步驟： 1. 準(zhǔn)確理解題意； 2. 分析并作受力情況草圖； 3. 選取坐標(biāo)系并規(guī)定質(zhì)點的坐標(biāo)； 4. 標(biāo)出已知及未知力 、 加速度； 5. 寫出質(zhì)點運(yùn)動微分方程； 6. 解微分方程； 7. 討論 ， 分析解的物理意義 。 65 若 積分后并求得其解 : R?gm?例 、 質(zhì)量為 m的質(zhì)點 ， 在有阻力的空氣中無初速度地自離地面 為 h的地方豎直下落 ， 若阻力與速度成正比 ， 求其運(yùn)動 。 kgx ?? ??0?? ?? k?ktec ?? 1?kgchxxt ????1,0,0 得?若選擇的坐標(biāo)原點在離地面 h處，方向向下，運(yùn)動微分方程又如何？ 66 例 質(zhì)量為 m的小球以初速豎直上拋 ， 空氣的阻力為 R = kmv2。 求： （ 1）上升的最大高度 H； （ 2）返回到地面時小球的速度 vm。 解：取地面為原點 ， 坐標(biāo)軸 oy豎直向上 。 （ 1） 上升時： 運(yùn)動微分方程 222k m vmgdt ydm ???由 dydvvdtdydydvdtdvdtyd ???22得： R?gm?yo67 得 2021kvggkH?? lndykvgv d v ??? 2?? ??? Hv dykvg v d v 00 20積分 R?gm?yo68 （ 2） 下降時： 運(yùn)動微分方程： 222k m vmgdt ydm ???將 代入 dydvvdtyd ?22 dykvgv d v ??? 2積分： ?? ???? 00 2 Hv dykvg v d vm得 gkvgkHm221 ???將 （ 1） 中的 H代入得 gkvvv m2001 ??R?gm?yo69 2) 帶電粒子在正交電磁場中的運(yùn)動 ozyxB?E?0v?假定 kBBjEE ?? ???? ??t=0時， 00000 ???? zyxiVv ,???粒子運(yùn)動微分方程為 : jqBviqBvjqEBvvvkjiqjqEBvqEqFdtvdm xyzyx ??????? ??????????????????????0070 粒子運(yùn)動分量微分方程為 : 由 (1)和 (2) 由（ 1） tVBEv y ?s i n?????? ??71 因此 積分得 72 討論 (1)該情況為 vc， B、 E為恒矢； (2)粒子始終在 xoy平面運(yùn)動 ,其軌道 , V=0的情況為 : 圓滾線 73 v≠0時 , 連滾帶滑 : 圓心速度： 74 例 質(zhì)點 m沿 x2=4ay（ 光滑 ） 自 x=2a滑至 x=0處 ， 求 v及其約束反力 。 解 : 畫草圖，受力分析， R、 mg （ 1） （ 2） 代入 （ 1） 式得 75 例 :質(zhì)量為 m和 2m的兩個質(zhì)點 ,為一不可伸長的輕繩連接 ,繩掛在光滑的滑輪上 . 在 m的下端又用固有長度為 a、倔強(qiáng)系數(shù) k=mg/a的彈性繩掛上質(zhì)量為 m的另一質(zhì)點，在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩處于固有長度上。由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這一運(yùn)動是簡諧的。 解：各質(zhì)點受力如圖 ， ox1， ox2為慣性系 ， ox3為非慣性系 , TTT ?? 2139。39。39。 TTT ?? 2176 運(yùn)動微分方程： ?????????????????????????)()(39。)(39。39。axamgaxkTrxxlxmTmgxmTTmgxmTmgxm3321232122?????????12 xx ???? ??將后兩式代入前三式相關(guān)項 ， 可得 77 )( axamgTmgxm ????? 31??Tmgxm ?? 22 1??133 xmaxamgmgxm ???? ???? )(（ 1） （ 2） （ 3） am g xTTmg 32 ???從 （ 1） 中解出 ,代入 （ 2） 、 （ 3） 得 1x?23 33 Tam g xmgx ?????故 ， gxagx383433 ????令 ag34??78 79 例 : 一小環(huán)套在光滑大圈上，大圈以加速度 a豎直向上作勻加速直線運(yùn)動。求小環(huán)的相對運(yùn)動速度和大圈對小環(huán)的約束反力。 解 : 選圈為非慣性系 ， 在其上建立自然坐標(biāo)系 : 80 81 1. 質(zhì)點在恒力作用下沿曲線運(yùn)動 力的累積效應(yīng)有兩類： 力的 空間 累積效應(yīng)： 功（力 位移） 力的 時間 累積效應(yīng)： 沖量（力 時間） 其中 ， Δr 是 力的作用點 的位移 ?c o srFrFW ???? ?????r??A B F??82 2. 質(zhì)點受變力沿曲線運(yùn)動 功是標(biāo)量 ， 其值與坐標(biāo)選取無關(guān) 。 選直角坐標(biāo)系較方便 。 在直角坐標(biāo)系下： rdFdW ?? ???? ????? ABAB dsFrdFW ?c os??dzFdyFdxFkdzjdyidxkFjFiFWzyAB xzyAB x??????????? )???()???( ??????83 3. 若質(zhì)點受幾個力 F1 ， F2， …… Fn作用 , 合力 ???niiFF1???? ?? ????????????niini ABiABniiAB WrdFrdFrdFW111??????即：合力之功等于分力功之代數(shù)和 。 4. 功率 描述做功快慢的量 。 vFdtrdFdtdWP ?????????84 說明 ： ? 當(dāng)物體不是質(zhì)點時，力對物體所做的元功應(yīng)看成是力與力的作用點的元位移的標(biāo)積。（如輪子在粗糙水平面上做純滾動） ? 當(dāng)力的作用點不斷地發(fā)生變遷時，且又沒有元位移，則此力對物體不做功（如靜摩擦力）。 ? 對不同的慣性系，作用點的位移可能不同，因此力所做的功也不相同。 1F2FBccB rFrF???? ?????11 285 1. 力場 一般情況下 ， ),( trrFF ????? ? 若質(zhì)點在某空間區(qū)域任意位置上 ， 受到確定的力 F (r)，力是位置的 單值 、 有界 、 可微 函數(shù) ， 則該區(qū)域稱為 力場 ，F(xiàn)為 場力 。 如：萬有引力場 、 靜電場 ， 若含有時間稱為 非穩(wěn)定場 。 86 2. 保守力場 積分一般與路徑有關(guān) . 若 ??? AB rdFW ?? 若力場是穩(wěn)定的 ， 當(dāng)質(zhì)點運(yùn)動時 ， 場力做功單值地由始末位置確定 （ 與軌道形狀無關(guān) ） —— 該力場為 保守力場 。 質(zhì)點受到的場力為 保守力 。 否則場力做功與路徑有關(guān) ， 這種力為 非保守力 ， 力場為非保守力場 。 如：摩擦力 —— 與路徑有關(guān) —— 耗散能量 —— 耗散力 ).,(),(),(,)),((AAABBBBABAzyBA xzyxUzyxUWzyxdUWzyxUddzFdyFdxFW???????????87 力 …… 保守力 萬有引力 靜電力 彈性力 非保守力 （渦旋力） 磁場力 耗散力 摩擦力 粘滯力 空氣阻力 …… 88 3. 保守力的判據(jù) (a). F(x,y,z)為保守力的充要條件 是 : 0??? F?即 : 0???????????????????????????????????????????????kyFxFjxFzFizFyFFFFzyxkjixyzxyzzyx????????????證 : （ 一 ） 必要性 因為 與路徑無關(guān)只與始末位置有關(guān) ， dzFdyFdxFW zyAB x