【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 道】一般求角度，往往將所求角轉(zhuǎn)化到一個(gè)特殊三角形中（多數(shù)是直角三角形）. 在圓中有弧的中點(diǎn)、弦的中點(diǎn)時(shí)常常連結(jié)圓心與中點(diǎn)，得到相等的線段或直角.【變式訓(xùn)練】3. 如圖，底面半徑為5dm的圓柱形油桶橫放在水平地面上，向桶內(nèi)加油后，量得長(zhǎng)方形油面的寬度為8dm. 你能算出油的深度嗎（指油的最深處，即油面到水平地面的距離）？【解】根據(jù)題意應(yīng)有兩種情況：(1) 如圖1，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=53=2dm；(2) 如圖2，已知AB=8，OB=5，用勾股定理可求得OC=3，故CP=5+3=8dm. 圖1 圖2【同步測(cè)控】基礎(chǔ)自測(cè)，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于M，下列四個(gè)結(jié)論：①CM＝DM ，②AC=AD，③，④∠C=∠D. 其中成立的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)2. 下列判斷正確的是（ ）A. 平分弦的直線垂直于弦 B. 平分弦的直線也平分弦所對(duì)的兩條弧C. 弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)條弧 D. 平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦3. 已知⊙O中的一條弦AB與直徑CD垂直相交于E，并且CE＝1，DE=3，那么弦AB的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. 2 　 　D. 44. 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C, D兩點(diǎn)，AB=10cm，CD=6cm，則AC的長(zhǎng)為 A. 0. 5cm B. 1cm C. D. 2cm5. “兩龍”高速公路是目前我省高速公路隧道和橋梁最多的路段．如圖，是一個(gè)單心圓曲隧道的截面，若路面寬為10米，凈高為7米，則此隧道單心圓的半徑是（ ）第8題A. 5 B. C. D. 7第6題第5題第7題6. 如圖，⊙O的直徑CD與弦AB交于點(diǎn)M，添加條件　　　　　　　　(寫出一個(gè)即可)，就可得到D是 的中點(diǎn)．7. 如圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，OE 交弦AC于點(diǎn)D．若AC = 8cm，DE = 2cm，則OD的長(zhǎng)為 .，在半徑為5的⊙O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為M，若OM=4，則CD= ．9. 如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半徑． 10. 如圖，⊙O中，弦AB∥CD. 求證：. 能力提升 10 cm，深約為2 cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（ ）A. 10 cm B. cm C. cm D. 20 cm12. 若點(diǎn)P是半徑為5的⊙O 內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，在過點(diǎn)P的所有⊙O的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)為 ________條.13. 已知⊙O的半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則梯形ABDC的面積為 . 000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB=800mm，則油的最大深度為 mm.15. 如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，P是弦AB上一 點(diǎn)，且PB=2，則OP= ．，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半徑．創(chuàng)新應(yīng)用17. 某地有一座圓弧形拱橋，，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？參考答案基礎(chǔ)自測(cè)，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD于M，下列四個(gè)結(jié)論：①CM＝DM ，②AC=AD，③，④∠C=∠D. 其中成立的有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)答案：D2. 下列判斷正確的是（ ）A. 平分弦的直線垂直于弦 B. 平分弦的直線也平分弦所對(duì)的兩條弧C. 弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)條弧 D. 平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦答案：C3. 已知⊙O中的一條弦AB與直徑CD垂直相交于E，并且CE＝1，DE=3，那么弦AB的長(zhǎng)等于（ ）A. B. C. 2 　 　D. 4答案：A4. 如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C, D兩點(diǎn)，AB=10cm，CD=6cm，則AC的長(zhǎng)為 A. 0. 5cm B. 1cm C. D. 2cm答案：D5. “兩龍”高速公路是目前我省高速公路隧道和橋梁最多的路段．如圖，是一個(gè)單心圓曲隧道的截面，若路面寬為10米，凈高為7米，則此隧道單心圓的半徑是（ ）第8題A. 5 B. C. D. 7答案：B第6題第5題第7題6. 如圖，⊙O的直徑CD與弦AB交于點(diǎn)M，添加條件　　　　　　　　(寫出一個(gè)即可)，就可得到D是 的中點(diǎn)．答案：CD⊥AB或AM=BM7. 如圖所示，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，OE 交弦AC于點(diǎn)D．若AC = 8cm，DE = 2cm，則OD的長(zhǎng)為 .答案：3cm，在半徑為5的⊙O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為M，若OM=4，則CD= ．答案：69. 如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD，CD =10cm，AP：PB=1∶5．求⊙O的半徑．解：連結(jié)OC. 設(shè)⊙O的半徑為R.∵AP：PB=1∶5，AP+PB=2R，∴OP=R.∵直徑AB平分弦CD，∴CP=CD=5cm，OP⊥CD.∴OC2=OP2+CP2，即R2=+52，解得R=cm. 10. 如圖，⊙O中，弦AB∥CD. 求證：. 證明：作直徑EF⊥CD，∵AB∥CD，∴EF⊥AB. ∴，. ∵，∴.能力提升 10 cm，深約為2 cm的小坑，則該鉛球的直徑約為………………………………………………………………（ ）A. 10 cm B. cm C. cm D. 20 cm解析：本題實(shí)質(zhì)是已知弦長(zhǎng)為10cm，弓高為2cm，易用勾股定理求得圓的直徑.答案：B12. 若點(diǎn)P是半徑為5的⊙O 內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，在過點(diǎn)P的所有⊙O的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)為 條.解析：先利用勾股定理求得過P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為=8，且只此一條；而過P點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦（直徑）為10，也只此一條；而根據(jù)圓的對(duì)稱性，長(zhǎng)為8的弦有2條.答案：413. 已知⊙O的半徑為5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，則梯形ABDC的面積為 .解析：本題分AB和CD在圓心O的同側(cè)和兩側(cè)兩種情況討論.答案：7或49 000mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬AB=800mm，則油的最大深度為 mm.答案：20015. 如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB=8，P是弦AB上一 點(diǎn)，且PB=2，則OP= ．解析：連結(jié)OA，作OC⊥AB于C. 在Rt△AOC中，利用勾股定理求出OC的長(zhǎng)，再在Rt△OCP中，利用勾股定理求出OP的長(zhǎng).答案：，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半徑．分析：連結(jié)OA，OB，OC，OA交BC于D. 先設(shè)法證OA⊥BC，這可從△OAB≌△OAC及等腰三角形的“三線合一”證得，再在Rt△ABD中由勾股定理求出AD的長(zhǎng)，然后在Rt△BOD中勾股定理求出半徑.解：連結(jié)OA，OB，OC，OA交BC于D.∵OA=OB=OC，AB=AC，∴△OAB≌△OAC，∴∠OAB=∠OAC，∴OA⊥BC，且BD=CD=12.在Rt△ABD中，AD=.在Rt△BOD中，OB2=BD2+OD2，即R2=122+(R5)2，解得R=創(chuàng)新應(yīng)用17. 某地有一座圓弧形拱橋，，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？分析：設(shè)圓弧的圓心為O，連結(jié)OA，作OC⊥AB，分別交AB和圓弧于D，C，則AD=，CD=，由勾股定理可求得半徑；再設(shè)EF=3m，連結(jié)OE，再由勾股定理OP的長(zhǎng)，即得PD的長(zhǎng)，再與2m比較即可.解：設(shè)圓弧的圓心為O，連結(jié)OA，作OC⊥AB，分別交AB和圓弧于D，C，則AD=，CD=.∵OA2=AD2+OD2，∴R2=+()2，解得R=.設(shè)EF=3m，連結(jié)OE，則EP=，OP==.∴PD=OPOD=2m，∴能順利通過.(1)【要點(diǎn)預(yù)習(xí)】1. 圓的旋轉(zhuǎn)不變性和中心對(duì)稱性把圓繞 轉(zhuǎn)動(dòng)任意一個(gè)角度所得的像和原圖形重合. 圓是中心對(duì)稱圖形， 就是它的對(duì)稱中心.2. 圓心角的概念頂點(diǎn)在 的角叫做圓心角.3. 圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 相等，所對(duì)的 相等.【課前熱身】1. (蘇州市07)如圖，MN為⊙O的弦，∠M=50176。，則圓心角∠MON等于（ ）A. 50176。 B. 55176。 C. 65176。 D. 80176。答案：D2. 如圖，⊙O中，∠AOB=∠COD，則AC= ，= .答案：BD 3. 若等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，則的度數(shù)是 .答案：120176。【講練互動(dòng)】【例1】如圖，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在中作出，使的度數(shù)為45176。.【分析】先作90176。的圓心角，再作這個(gè)圓心角的角平分線得45176。圓心角，從而可得45176。的弧.【作法】如圖. (1) 作⊙O的一條半徑OA；(2) 過O點(diǎn)作OC⊥OA，交⊙O于C點(diǎn)；(3) 作∠AOC的角平分線OF，交⊙O于B點(diǎn). 就是度數(shù)為45176。的弧.【綠色通道】求弧的度數(shù)時(shí)，我們往往通過圓心角的度數(shù)來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練】1. 如圖，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在中作出一個(gè)圓內(nèi)接正方形.【作法】如圖.(1) 作⊙O的一條直徑AB.(2) 過O點(diǎn)作CD⊥AB，CD交⊙O于C點(diǎn)和D點(diǎn).(3) 依次連結(jié)A，D，C，B.四邊形ADBC就是所求的正方形.【例2】如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，弦DE∥AB. 求證：.【分析】要證，只要證它們所對(duì)的圓心角相等，故連結(jié)OE，只要證∠BOC=∠BOE.【證明】連結(jié)OE. ∵OD=OE，∴∠D=∠E.∵DE∥AB，∴∠BOC=∠D，∠BOE=∠E.∴∠BOC=∠BOE，∴.【綠色通道】要證明兩條弧相等，可以考慮證它們所對(duì)的圓心角相等. 另外，在學(xué)完后面幾節(jié)內(nèi)容后，本題還有多種證法.【變式訓(xùn)練】2. 如圖，在⊙O中，弦AB=CD. 求證：AC=BD.【證明】∵AB=CD，OA=OB=OC=OD，∴△AOB≌△COD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD.【例3】如圖，以Rt△ABC的直角頂點(diǎn)為圓心，以BA為半徑的圓分別交AC于點(diǎn)D，∠C=31176。，求的度數(shù).【分析】要證明弧之間的數(shù)量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為求它們所對(duì)的加以角的角度之間的關(guān)系.【解】連結(jié)BD. 在Rt△ABC中，∠AOB=90176。，∠C=31176。，∴∠A=90176。∠C=59176。.又BA=BD，∴∠BDA=∠A=59176。，∴∠ABD=180176?！螧DA∠A=62176。，∴∠DBC=90176?！螦BD=28176。，即∠COD=28176。.【綠色通道】把求弧的度數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求它所對(duì)的圓心角的度數(shù). 因此，半徑是此類問題中的常用的輔助線.【變式訓(xùn)練】3. 如圖，是以O(shè)為圓心的一條弧，OA⊥OB，C是OB的中點(diǎn)，CD∥OA，交于D. 求的度數(shù).【解】連結(jié)OD. ∵OA⊥OB，CD∥OA，∴CD⊥OB.又∵OC=OB=OD，∴∠DOA=30176。，30176。.【同步測(cè)控】基礎(chǔ)自測(cè)1. 下列命題中，不正確的是……………………………………………………………（ ）A．圓是軸對(duì)稱圖形 B．圓是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形C．圓是中心對(duì)稱圖形 D．圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形2. 如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，∠BAC＝20176。，則∠BOC等于……………（ ）A. 20176。 B. 30176。 C. 40176。 D. 50176。第3題圖第4題第5題第2題3. 如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為，則圓心角∠AOB=……………（ ）A. 60176。 B. 90176。 176。 176。4. 如圖，⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)M，若∠AOD=14