高中數(shù)學(xué)圓錐曲線測試題期末(編輯修改稿)
2025-02-10 09:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 方程為，設(shè)是圓珠筆上的動點，點D是在軸上的投影，M為D上一點，且（Ⅰ）當(dāng)?shù)脑趫A上運動時，求點M的軌跡C的方程；（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度。【解析】：（Ⅰ）設(shè)M的坐標為，的坐標為 由已知得在圓上，即C的方程為（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為 的直線方程為，設(shè)直線與C的交點為，將直線方程代入C的方程，得，即。線段AB的長度為，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．解：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，. （I）解：設(shè) 由題意，可得即整理得（舍），或所以（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,A,B兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理,得,解得,得方程組的解,不妨設(shè),設(shè)點的坐標為,則,.由得,于是,由，即,化簡得,將代入,得,所以,因此,點的軌跡方程是：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值．解：（1）已知雙曲線E：，在雙曲線上，M，N分別為雙曲線E的左右頂點，所以，直線PM，PN斜率之積為而，比較得（2）設(shè)過右焦點且斜率為1的直線L：，交雙曲線E于A，B兩點，則不妨設(shè)，又，點C在雙曲線E上：*（1）又 聯(lián)立直線L和雙曲線E方程消去y得：由韋達定理得：，代入（1）式得：，離心率，一條準線的方程為。（Ⅰ）求該橢圓的標準方程。（Ⅱ）設(shè)動點P滿足,其中M,N是橢圓上的點。直線OM與ON的斜率之積為。問：是否存在兩個定點，使得為定值。若存在，求的坐標；若不存在，說明理由。解析：（Ⅰ）由，解得，故橢圓的標準方程為 （Ⅱ）設(shè)，,則由得，即，因為點M,N在橢圓上，所以故 ，設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，因此，所以，所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左右焦點為，則由橢圓的定義，為定值，又因，因此兩焦點的坐標分別為(1，0)、B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P．直線AC與直線
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