二重極限與累次極限的關(guān)系與應(yīng)用論文(編輯修改稿)
2025-02-09 12:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) (0,0)( , )lim ( , )xyx y PCA f x y?? 與 00lim lim ( , )y y x x f x y??的理解類似 . 從上面的分析我們知道二重極限與累次極限存在的基礎(chǔ)是不同的 . 3 二重極限與累次極限可能發(fā)生的七種關(guān)系 由 函數(shù) ( , )f xy 的二重極限與累次極限的定義 ， 發(fā)現(xiàn)二重極限與 累次極 限是兩個(gè)獨(dú)立的概念，兩者的存在性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系，但可以 總結(jié)出 二重極限與兩個(gè)累次極限間 的所有可能存在的 關(guān)系 ， 共有七種 . (1)累次極限都存在且相等，但二重極限不存在 ； (2)累次極限都不存在，二重極限存在 ； (3)一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限存在 ； (4)一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限不存在 ； (6)累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在 ； (7)累次極限與二重極限都存在且一定相等 . 累次極限都存在且相等，但二重極限不存在 例 元函數(shù)22( , ) xyf x y xy? ?在原點(diǎn)（ ）處的二重極限與累次極限 . 解 ：① 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) (, )xy 沿直線 y kx? 而趨于定點(diǎn)（ ）時(shí)， 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 4 由于此時(shí) 2( , ) ( , ) 1 kf x y f x kx k?? ? 因而有 2( , ) ( 0 , 0 ) 0l im ( , ) l im ( , ) 1x y x kf x y f x k x k???? ? 此結(jié)果可以看出 極限值與 k 有關(guān) ，所以此函數(shù)二重極限不存在 . ② 當(dāng) 0y? 時(shí)有 220lim 0x xyxy? ?? 從而有 2200lim lim 0yx xyxy?? ?? 同理可得 2200lim lim 0xy xyxy?? ?? 即此函數(shù)累次極限存在且均為 0. 此例說(shuō)明 累次極限存在且相等，并不能保證二重極限的存在，當(dāng)然有可能存在 . 累次極限都不存在，二重極限存在 例 2[2] .考察二元函數(shù) 11( , ) ( ) s in s inf x y x yxy?? 在原點(diǎn)處的二重極限與累次極限是否存在 . 解： 由于有界 變量與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，可得 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )11l im ( , ) l im [ ( ) s in s in ] 0x y x yf x y x y xy?? ? ? ? 對(duì)任意給定的 0y? 由于 011lim ( ) sin sinx xy xy? ? 不存在， 所以 0011lim lim ( ) s in s inyx xy xy?? ? 不存在。 同理 ：011lim ( ) sin siny xy xy? ?不存在 ，0011lim lim ( ) s in s inxy xy xy?? ?也不存在 .即兩個(gè)累次極限都不存在 . 此例說(shuō)明了函數(shù)的二重極限存在，而兩個(gè) 累次極限可以不存在， 這也說(shuō)明了累次極限并不是二重極限的特例 . 一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限存在 大理學(xué)院本科畢業(yè)論文 5 例 1( , ) sinf x y xy? 在 原 點(diǎn)（ ）的二重極限與累次極限 . 解： 因?yàn)? 1( , ) sinf x y x xy?? 所以二重極限 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )1l im ( , ) l im s in 0x y x yf x y x y???? 而累次極限 0 0 0 01l im l im ( , ) l im ( l im s in )x y x yf x y x y? ? ? ?? 又因?yàn)槔ㄌ?hào)中的極限01lim siny x y?不存在，所以這個(gè)累次極限不存在，另一個(gè)累次極限 0 0 0 01l im l im ( , ) l im [ l im ( s in ) ] 0y x y xf x y x y? ? ? ??? 上例說(shuō)明了二重極限存在，也不能保證累次極限存在，當(dāng)然更不能保證兩累次極限相等，因?yàn)樗B累次極限中的任何一個(gè)的存在性都無(wú)法保證， 二重極限的存在 性與累次極限的存在性無(wú)蘊(yùn)含關(guān)系，而且 可以知道兩個(gè)累次極限 的存在性也不存在 蘊(yùn)含關(guān)系 . 一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存 在，二重極限不存在 例 4[3] .求函數(shù)22 1( , ) s inxyf x y yx y x???在原點(diǎn)處 的 二重極限與累次極限的存在性 . 解：①二重極限的存在性 參考例 1 可得， 函數(shù)的二重極限不存在 . ②累次極限的存在性 當(dāng) 0y? 時(shí)，由于 0lim ( , )x f x y? 不存在， 所以 00lim lim ( , )yxf x y??不存在 . 當(dāng) 0x? 時(shí) 有 2200 1l im ( , ) l im ( s in ) 0yy xyf x y yx y x??? ? ?? 所以 220 0 0 0 1l im l im ( , ) l im l im ( s in ) 0x y x y xyf x y yx y x? ? ? ?? ? ?? 由此例可以看出二重極限不存在時(shí)，累次極限可以只存在一個(gè)，而另一個(gè)不存在 . 累
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