二重極限與累次極限的關(guān)系與應(yīng)用論文(存儲(chǔ)版)
【正文】 畢業(yè)論文 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 The relationship and application of the Double limit and Repeated limit 學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 項(xiàng)目組成員： 潘逢生 指導(dǎo)教師 ： 王紹榮 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)（班級(jí)）： 06 級(jí)數(shù)本一班 起止日期 ： 2022625 至 20221220 制表日期： 2022 年 10 月 1 日 大理學(xué)院本科畢業(yè)論文 1 [摘要 ] 本文主要 從累次極限與二重極限的定義出發(fā)， 總結(jié)了累次極限與二重極限 存在性的所有 可能發(fā)生的 情況 和有關(guān)的定理， 對(duì)二重極限與累次極限的關(guān)系作了一個(gè)比較 完整的研究 。二重極限與累次極限之間的關(guān)系是 一個(gè)復(fù)雜的 問(wèn)題，若能弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，這將會(huì)對(duì)多元函數(shù)的微分計(jì)算，積分計(jì)算和極限計(jì)算發(fā)揮 很大的作用，也有助于更清楚的了解多元函數(shù)的連續(xù)性，可積性， 可微性 ，一致收斂性 之間的聯(lián)系 與區(qū)別，對(duì)多元函數(shù)的研究具有重要 意義 。為此向上述所有給我們提供幫助的老師 和 同學(xué)及單位表示誠(chéng)摯的謝意。另一方面，注意到 10 ( , ) s inf x y x xy? ? ? 由 兩邊夾法則知( , ) ( 0 ,0 )lim ( , ) 0xy f x y? ? ，當(dāng)然有 ( , ) ( 0 ,0 )( , )lim ( , ) 0xyx y PBA f x y?? ? 此 例 說(shuō) 明 ( , ) (0,0)( , )lim ( , )xyx y PBA f x y??與00lim lim ( , )x x y y f x y?? 是 不 同 的 ， 而 且 只有當(dāng)0lim ( , ) ( )yy f x y x?? ? 存 在 時(shí) ， 才 可 能 有 0 0 0lim ( ) lim lim ( , )x x x x y yx f x y?? ? ??存在 . 對(duì)于( , ) (0,0)( , )lim ( , )xyx y PCA f x y?? 與 00lim lim ( , )y y x x f x y??的理解類似 . 從上面的分析我們知道二重極限與累次極限存在的基礎(chǔ)是不同的 . 3 二重極限與累次極限可能發(fā)生的七種關(guān)系 由 函數(shù) ( , )f xy 的二重極限與累次極限的定義 ， 發(fā)現(xiàn)二重極限與 累次極 限是兩個(gè)獨(dú)立的概念，兩者的存在性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系，但可以 總結(jié)出 二重極限與兩個(gè)累次極限間 的所有可能存在的 關(guān)系 ， 共有七種 . (1)累次極限都存在且相等，但二重極限不存在 ； (2)累次極限都不存在，二重極限存在 ； (3)一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限存在 ； (4)一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限不存在 ； (6)累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在 ； (7)累次極限與二重極限都存在且一定相等 . 累次極限都存在且相等，但二重極限不存在 例 元函數(shù)22( , ) xyf x y xy? ?在原點(diǎn)（ ）處的二重極限與累次極限 . 解 ：① 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) (, )xy 沿直線 y kx? 而趨于定點(diǎn)（ ）時(shí)， 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 4 由于此時(shí) 2( , ) ( , ) 1 kf x y f x kx k?? ? 因而有 2( , ) ( 0 , 0 ) 0l im ( , ) l im ( , ) 1x y x kf x y f x k x k???? ? 此結(jié)果可以看出 極限值與 k 有關(guān) ，所以此函數(shù)二重極限不存在 . ② 當(dāng) 0y? 時(shí)有 220lim 0x xyxy? ?? 從而有 2200lim lim 0yx xyxy?? ?? 同理可得 2200lim lim 0xy xyxy?? ?? 即此函數(shù)累次極限存在且均為 0. 此例說(shuō)明 累次極限存在且相等，并不能保證二重極限的存在，當(dāng)然有可能存在 . 累次極限都不存在，二重極限存在 例 2[2] .考察二元函數(shù) 11( , ) ( ) s in s inf x y x yxy?? 在原點(diǎn)處的二重極限與累次極限是否存在 . 解： 由于有界 變量與無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量，可得 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )11l im ( , ) l im [ ( ) s in s in ] 0x y x yf x y x y xy?? ? ? ? 對(duì)任意給定的 0y? 由于 011lim ( ) sin sinx xy xy? ? 不存在， 所以 0011lim lim ( ) s in s inyx xy xy?? ? 不存在。 existence。 the same trend
高考資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1