二重極限與累次極限的關(guān)系與應(yīng)用論文-wenkub
2023-01-28 12:33:36 本頁(yè)面
【正文】 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 2 目錄 言 …………………………………………………………………… ……… 1 2. 二重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系 ……………………………… ..............1 累次極限存在性的七種情況 ………………………… … ……… 3 累次極限都存在且相等，但二重極限不存在 …………………… ……… .3 累次極限都不存在，二重極限存在 …………………………… … ……… .4 一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限存在 … ……… .4 一個(gè)累次極限存在， 另一個(gè)累次極限不存在，二重極限不存在 .............5 累次極限都存在但不相等，二重極限一定不存在 ……………… …… .....5 累次極限與二重極限都存在且一定相等 ………………………… …… .....6 二重極限與累次極限都不存 在 …………………………………… .............6 …………………… ...............7 二重極限與累次極限存 在 必相等定理 ………………………………… ....7 二重極限存在時(shí)累次極限也存在的條件 …………………… …… ……… 8 參考文獻(xiàn) ……………………………………………………………… ……… .10 致謝 …………………………………………………………………… ……… .11 大理學(xué)院本科畢業(yè)論文 1 1 前言 本文以 二 重極限 與累次極限的關(guān)系為研究對(duì)象， 原因 在于它 不僅對(duì)多元函數(shù)極限的求法和極限思想有 很大的啟發(fā)作用而且 對(duì)多元函數(shù)的其他性質(zhì)與應(yīng)用 也有很大的幫助 ，是研究多元函數(shù)的連續(xù)性，可積性，可微性的重要工具。 2 二重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系 二元函數(shù)極限是一元函數(shù)的推廣， 研 究二元數(shù)的極限對(duì)研究函數(shù)的連續(xù)性，可微性 及可積性都有很大的幫助，研究二元函數(shù)的極限首先要從它的定義出發(fā) ，二元函數(shù) 的極限 有二重極限與累次極限之分，這是兩個(gè)不同的獨(dú)立概念，我們先來(lái)看看它們的定義 . 定義 1[1] .設(shè) f 為定義在 2DR? 上的二元函數(shù) . 0P 為 D 的一個(gè)聚點(diǎn)， A 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)任給正 數(shù) ? ，總存在某正數(shù) ? ， 使得 當(dāng) 0( , )OP U P D?? 時(shí)，都有 ()f P A ???. 則稱 f 在 D 上當(dāng) 0PP? 時(shí)以 A 為極限， 記作 ： 0lim ( )PPf P A? ? 或 00( , ) ( , )lim ( )x y x y f P A? ? 定義 2 [1] 設(shè) xyE E R?， , 0x 是 xE 的聚點(diǎn)， 0y 是 yE 的聚點(diǎn)，二元函數(shù) f 在集合x(chóng)yD E E?? 上有定義，若對(duì)每一個(gè) 0,yy E y y??，存在極限 0lim ( , )xxxxEf x y??, 由于此極限一般 與 y 有關(guān)，因此記作： 0( ) lim ( , )xxxxEy f x y? ??? 而且進(jìn)一步存在極限 0lim ( )yyyyELy???? 則稱此極限為二元函數(shù) f 先對(duì) 0xx? 后對(duì) 0yy? 的累次極限 .并 記作 ： 00lim lim ( , )y y x xL f x y???. 類似可以定義先對(duì) 0yy? 后對(duì) 0xx? 的累次極限 . 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 2 00lim lim ( , )x x y yK f x y??? . 從所給定義出發(fā)，可知二重極限 00( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y? 中的兩個(gè)變量 ,xy 要求同時(shí)以任何 方式，即從任何路徑趨向于 點(diǎn) 00( , )xy 而得到的極限 .其關(guān)鍵在于路徑的任意性與兩變量的同時(shí)性 。 同理 ：011lim ( ) sin siny xy xy? ?不存在 ，0011lim lim ( ) s in s inxy xy xy?? ?也不存在 .即兩個(gè)累次極限都不存在 . 此例說(shuō)明了函數(shù)的二重極限存在，而兩個(gè) 累次極限可以不存在， 這也說(shuō)明了累次極限并不是二重極限的特例 . 一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)累次極限不存在，二重極限存在 大理學(xué)院本科畢業(yè)論文 5 例 1( , ) sinf x y xy? 在 原 點(diǎn)（ ）的二重極限與累次極限 . 解： 因?yàn)? 1( , ) sinf x y x xy?? 所以二重極限 ( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )1l im ( , ) l im s in 0x y x yf x y x y???? 而累次極限 0 0 0 01l im l im ( , ) l im ( l im s in )x y x yf x y x y? ? ? ?? 又因?yàn)槔ㄌ?hào)中的極限01lim siny x y?不存在，所以這個(gè)累次極限不存在，另一個(gè)累次極限 0 0 0 01l im l im ( , ) l im [ l im ( s in ) ] 0y x y xf x y x y? ? ? ??? 上例說(shuō)明了二重極限存在，也不能保
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