二重極限與累次極限的關(guān)系與應(yīng)用論文-文庫(kù)吧
2024-12-29 12:33 本頁(yè)面
【正文】 或 00( , ) ( , )lim ( )x y x y f P A? ? 定義 2 [1] 設(shè) xyE E R?， , 0x 是 xE 的聚點(diǎn)， 0y 是 yE 的聚點(diǎn)，二元函數(shù) f 在集合xyD E E?? 上有定義，若對(duì)每一個(gè) 0,yy E y y??，存在極限 0lim ( , )xxxxEf x y??, 由于此極限一般 與 y 有關(guān)，因此記作： 0( ) lim ( , )xxxxEy f x y? ??? 而且進(jìn)一步存在極限 0lim ( )yyyyELy???? 則稱此極限為二元函數(shù) f 先對(duì) 0xx? 后對(duì) 0yy? 的累次極限 .并 記作 ： 00lim lim ( , )y y x xL f x y???. 類似可以定義先對(duì) 0yy? 后對(duì) 0xx? 的累次極限 . 二重極限與累次極限的關(guān)系及其應(yīng)用 2 00lim lim ( , )x x y yK f x y??? . 從所給定義出發(fā)，可知二重極限 00( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y? 中的兩個(gè)變量 ,xy 要求同時(shí)以任何 方式，即從任何路徑趨向于 點(diǎn) 00( , )xy 而得到的極限 .其關(guān)鍵在于路徑的任意性與兩變量的同時(shí)性 。對(duì)于累次極限所不同的是自變量 ,xy是依一定先 后順序相續(xù)趨向于 00,xy的 整個(gè)趨近 過(guò)程分為兩個(gè)步驟 ，既可以先 0yy? 后 0xx? ，也可以先 0xx? 后 0yy? 時(shí) 對(duì) f 的極 限 ，我們從定義中可以知道二重極限與累次極限定義上就是獨(dú)立的， 這是它們的存在性沒(méi)有 必然的蘊(yùn)含關(guān)系的最終原因，要研 究它們之間的關(guān)系 是一個(gè)比較復(fù)雜的 問(wèn)題，所以我們?cè)谘芯克鼈冴P(guān)系之前要對(duì)它們各自的定義作充分的理解 . 函數(shù)在 一 點(diǎn)的二重極限涉及 該 點(diǎn)鄰域內(nèi)（僅考慮函數(shù) f 定義域的）所有點(diǎn)，而累次極限則不同，它是每次僅考慮一個(gè)變量的變化（其余變量暫時(shí)看作常數(shù)）的一元函數(shù)極限 . 例如 00lim lim ( , )y y x x f x y b?? ?首 先 只 考 慮 0xx? （ y 暫 時(shí) 看 作 常 數(shù) ） 有 0lim ( , ) ( )xx f x y y?? ?其次令 0yy? 有 0 0 0l im l im ( , ) l im ( )y y x x y yf x y y b?? ? ???這個(gè)累次極限對(duì)任意的 y ，動(dòng)點(diǎn) ( , )Pxy 沿著折線 PCA 無(wú)限趨近于 00( , )Ax y 如 下 圖（ 1） 所 示 圖（ 1） 同理 :對(duì)于另一累次極限 00lim lim ( , )x x y y f x y c?? ?對(duì)任意 x , 動(dòng)點(diǎn) ( , )Pxy 沿著折線 PBA 無(wú)限趨近于 00( , )Ax y 如圖（ 1）示 ， 這時(shí) 需要注意的是，若累次極限00lim lim ( , )x x y y f x y??存在 ，則 在 路 徑 PBA ： 0 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y??中的 0, ) ( , )y x y? 階 段 必 須 有0( ) lim ( , )yyx f x y? ??的存在，而且，0( ) lim ( , )yyx f x y? ??也未必與 0( , )f xy 相同，某些時(shí)候，這一累次極限在第一階段就不存在了 . 例 如 1si n 0( , )00xyyf x yy? ??? ???? P(X,Y) B（ X,Yo） C(Xo,Y) A(Xo,Yo) X O Y 大理學(xué)院本科畢業(yè)論文 3 顯然在 ( , ) ( ,0)x y x? 時(shí)，01lim siny x y?顯然是不存在的，當(dāng)然在 ( ,0) (0,0)x ? 階段 的極限也就不存在的 ，即累次極限00lim lim ( , )xyf x y??是不存在的，盡管 ( ,0) 0fx? 存在，但是在PBA ： ( , ) ( , 0) ( 0 , 0)x y x??路線上，極限( , ) ( 0 ,0 )( , )lim ( , ) 0xyx y PBA f x y?? ?卻是存在的。因?yàn)?若想(, )xy 在 PBA 上無(wú)限趨于 (0,0) ，只需要取 ( ,0) (0,0)x ? 段就可以了，不考慮( , ) ( ,0)x y x? 段，并不影響極限( , ) ( 0 ,0 )( , )lim ( , ) 0xyx y PBA f x y?? ? 的值。另一方面，注意到 10 ( , ) s inf x y x xy? ? ? 由 兩邊夾法則知( , ) ( 0 ,0 )lim ( , ) 0xy f x y? ? ，當(dāng)然有 ( , ) ( 0 ,0 )( , )lim ( , ) 0xyx y PBA f x y?? ? 此 例 說(shuō) 明 ( , ) (0,0)( , )lim ( , )xyx y PBA f x y??與00lim lim ( , )x x y y f x y?? 是 不 同 的 ， 而 且 只有當(dāng)0lim ( , ) ( )yy f x y x?? ? 存 在 時(shí) ， 才 可 能 有 0 0 0lim ( ) lim lim ( , )x x x x y yx f x y?? ? ??存在 . 對(duì)于( ,
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