高中數(shù)學(xué)求數(shù)列通項公式及求和的方法總結(jié)教案練習(xí)答案(編輯修改稿)
2025-11-22 09:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 an ?? 的通項公式 解得數(shù)列 ??na 的通項公式 優(yōu)秀論文，值得下載！ 優(yōu)秀論文精選 ！ 例 7 在數(shù)列 }{na 中， ,23,1 11 naaa nn ??? ? 求通項 na .（逐項相減法） 解： ?， ,231 naa nn ??? ① ? 2?n 時， )1(23 1 ??? ? naa nn ， 兩式相減得 2)(3 11 ???? ?? nnnn aaaa .令 nn aab ?? ?1 ,則 23 1 ?? ?nn bb 利用類型 5的方法知 235 1 ??? ?nnb 即 135 11 ???? ?? nnn aa ② 再由累加法可得 21325 1 ???? ? na nn . 亦可聯(lián)立 ① ② 解出21325 1 ???? ? na nn . 練習(xí) . 在數(shù)列 {}na 中， 362,23 11 ???? ? naaa nn ,求通項 na .（待定系數(shù)法） 解：原遞推式可化為 ynxayxna nn ??????? ? )1()(2 1 比較系數(shù)可得： x=6,y=9,上式即為 12 ?? nn bb 所以 ??nb 是一個等比數(shù)列，首項 299611 ???? nab ,公比為 21 . 1)21(29 ??? nnb 即： nn na )21(996 ???? 故 96)21(9 ???? na nn . 21 n n na pa qa????時將 na 作為 ()fn求解 分析：原遞推式可化為 2 1 1( ) ( ) n n n na a p a a? ? ?? ? ?? ? ? ?的形式，比較系數(shù)可求得 ? ，數(shù)列 ? ?1nnaa?? ? 為等比數(shù)列。 例 8 已知數(shù)列 {}na 滿足 2 1 1 25 6 , 1 , 2n n na a a a a??? ? ? ? ?，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：設(shè) 2 1 1( 5 ) ( )n n n na a a a? ? ?? ? ?? ? ? ? 優(yōu)秀論文，值得下載！ 優(yōu)秀論文精選 ！ 比較系數(shù)得 3??? 或 2??? ，不妨取 2??? ，（取 3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同） 則 2 1 12 3 ( 2 )n n n na a a a? ? ?? ? ?，則 ? ?1 2nnaa? 是首項為 4，公比為 3的等比數(shù)列 11 2 4 3 nnnaa ??? ? ? ?，所以 114 3 5 2nnna ??? ? ? ? 練習(xí) {}na 中，若 2,8 21 ?? aa ,且滿足 034 12 ??? ?? nnn aaa ,求 a . 答案： nna 311?? . 練習(xí) :,}{ 且滿足的各項都是正數(shù)na Nnaaaa nnn ???? ? ),4(21,1 10 ， 求數(shù)列 }{na 的通項公式 an. 解： ],4)2([21)4(21 21 ??????? nnnn aaaa 所以 21 )2()2(2 ????? nn aa nn nnnnnnn bbbbbab 22212 1222 22 1 12 )21()21(21)21(2121,2 ??????? ????????????? ??則令 又bn=－ 1，所以 1212 )21(22,)21( ?? ?????? nn nnn bab 即 . 方法 2：本題用歸納 猜想 證明，也很簡捷，請試一試 .解法 3：設(shè) c nn b?? ，則c 2 121 ?? nn c ,轉(zhuǎn)化為上面類型（ 1）來解 五、倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項 例 9 已知數(shù)列 {}na 滿足112 ,12nn n aaaa? ???，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：求倒數(shù)得1 1 11 1 1 1 1 1 1 1,22n n n n n na a a a a a? ? ???? ? ? ? ? ? ?????為等差數(shù)列，首項11 1a? ，優(yōu)秀論文，值得下載！ 優(yōu)秀論文精選 ！ 公差為 12 ， 1 1 2( 1 ) ,21nn naan? ? ? ? ? ? 六、對數(shù)變換法 適用于 rnn paa ??1 (其中 p,r 為常數(shù) )型 p0， 0?na 例 10. 設(shè)正項數(shù)列 ??na 滿足 11?a ， 2 12 ?? nn aa （ n≥ 2） .求數(shù)列 ??na 的通項公式 . 解：兩邊取對數(shù)得： 122 log21log ??? nn aa ， )1(log21log 122 ??? ?nn aa ，設(shè) 1log 2 ?? nanb ，則 12 ?? nn bb ??nb 是以 2為公比的等比數(shù)列， 11log 121 ???b 11 221 ?? ??? nnnb ， 12 21log ??? nan ， 12log 12 ?? ?nan ，∴ 12 12 ??? nna 練習(xí) 數(shù)列 ??na 中， 11?a ， 12 ?? nn aa （ n≥ 2），求數(shù)列 ??na 的通項公式 . 答案： nna ??? 2222 例 11 已知數(shù)列 {}na 滿足 51 23nnnaa? ? ? ? ， 1 7a? ，求數(shù)列 {}na 的通項公式。 解：因為 5112 3 7nnna a a? ? ? ? ?，所以 100nnaa???， 。 兩邊取常用對數(shù)得 1lg 5 lg lg 3 lg 2nna a n? ? ? ? 設(shè) 1l g ( 1 ) 5 ( l g )nna x n y a x n y? ? ? ? ? ? ? （同類型四） 比較系數(shù)得， lg 3 lg 3 lg 2,4 1 6 4xy? ? ? 由1 l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g 1 l g 7 1 04 1 6 4 4 1 6 4a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得lg 3 lg 3 lg 2lg 04 16 4nan? ? ? ?， 所以數(shù)列 lg 3 lg 3 lg 2{ lg }4 16 4nan? ? ?是以 lg 3 lg 3 lg 2lg 7 4 16 4???為首項，以 5為公比的等比數(shù)列，則 1l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 54 16 4 4 16 4 nnan ?? ? ? ? ? ? ?，因此優(yōu)秀論文，值得下載！ 優(yōu)秀論文精選 ！ 111111 1 111 6 1 64 4 4 4111 1 151 6 1 64 4 4 45 4 1 5151 16 4l g 3 l g 3 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2l g ( l g 7 ) 54 1 6 4 4 6 4[ l g ( 7 3 3 2 ) ] 5 l g ( 3 3 2 )
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