【文章內(nèi)容簡介】 ，故 MN=NP﹣ MP= ， 又在 Rt△ MPC 中， MC= ，故 MN=MC，此時四邊形 BCMN 為菱形， ②當(dāng) t=2 時， MP=2， NP= ，故 MN=NP﹣ MP= ， 又在 Rt△ MPC 中， MC= ，故 MN≠MC，此時四邊形 BCMN 不是菱形． 【點評】 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 ． 3. （ 2022河大附中一模） （本題滿分 10 分）在 △ ABC 中， ∠ ACB 為銳角，點 D 為射線 BC 上一動點，連接 AD，將線段 AD 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90176。 得到 AE，連接 EC. 問題發(fā)現(xiàn)： (1)如果 AB=AC， ∠ BAC=90176。 ，當(dāng)點 D 在線段 BC 上時（不與點 B 重合），如圖 1，請你判斷線段 CE， BD 之間的 位置 ． ． 關(guān)系和 數(shù)量 ． ． 關(guān)系（直接寫出結(jié)論）； 拓展探究： (2)如果 AB=AC， ∠ BAC= 90176。 ，當(dāng)點 D 在線段 BC 的延長線上時，如圖 2， 請判斷 ① 中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你 的結(jié)論。 問題解決： (3)如圖 3， AB≠AC， ∠ BAC≠90。，若點 D 在線段 BC 上運動，試探究：當(dāng)銳角 ∠ ACB等于度時，線段 CE 和 BD 之間的位置關(guān)系仍然成立（點 C、 E 重合除外）。此時作 DF⊥ AD交線段 CE 于點 F， AC=3 2 ，線段 CF 長的最大值是 ． 答案： 第 3 題 答案： 4. （ 2022 蘇州二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形 OABC 是矩形，點 B 的坐標(biāo)為(4,3).平行 于對角線 AC 的直線 m 從原點 O 出發(fā) .沿 x 軸正方向 以每秒 1 個單位長度的速度運動，設(shè)直線 m 與矩形 OABC 的兩邊 分別交于點 M 、 N ，直線 m 運動的時間為 t s. (1)點 A 的坐標(biāo)是，點 C 的坐標(biāo)是 。 (2)當(dāng) t = s 或 s 時， 12MN AC? 。 (3)設(shè) OMN? 的面積為 S ，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式 。 (4)探求 (3)中得到的函數(shù) S 有沒有最大值 ? 若有，求出最大值 : 若沒有，請說明理由 . (第 4 題 ) 解 : (1)A (4,0) ,C (0,3)。 圖① (2)t =2或 6。 (3)當(dāng) 04t?? 時， 21328S O M O N t??. 當(dāng) 4 t? ?? 時，如圖① , 23 38S t t?? ? . (4)有最大值 . 如圖② ,當(dāng) 04t?? 時，當(dāng) t =4時 ， S 可取到最大值 =6. 當(dāng) 48t?? 時，拋物線 23 38S t t?? ? 的開口向下， 圖② 所以 6S? ，綜上， 4t? 時， S 有最大值為 6. 5. （ 2022 青島一模） 把 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 按如圖（ 1）擺放（點 C 與 E 重合），點 B、C（ E）、 F 在同一條直線上．已知： ∠ ACB=∠ EDF=90176。， ∠ DEF=45176。， AC=8cm， BC=6cm，EF=10cm．如圖（ 2）， △ DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 CB 向 △ ABC 勻速移動，在 △ DEF 移動的同時，點 P 從 △ ABC 的頂點 A 出發(fā)，以 2cm/s 的速度沿 AB 向點B 勻速移動；當(dāng)點 P 移動到點 B 時，點 P 停止移動， △ DEF 也隨之停止移動． DE 與 AC 交于點 Q，連接 PQ，設(shè)移動時間為 t（ s）． （ 1）用含 t 的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ 的長，并寫出 t 的取值范圍； （ 2）連接 PE， 設(shè)四邊形 APEQ 的面積為 y（ cm2），試探究 y 的最大值； （ 3）當(dāng) t 為何值時， △ APQ 是等腰三角形． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】 動點型． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， （ 2）作 PG⊥ x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ ABC﹣ S△ BPE﹣ S△ QCE 即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠ EDF=90176。， ∠ DEF=45176。， ∴∠ CQE=45176。=∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤t≤5； （ 2）過點 P 作 PG⊥ x 軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣S△ QCE= = ∴ 當(dāng) （在 0≤t≤5 內(nèi)）， y 有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t 解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖 ①：過點 P 作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ， 如圖 ②：過點 Q 作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。∠ A=∠ A， ∴△ AQI∽△ ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當(dāng) 或 或 時， △ APQ 是等腰三角形． 6. （ 2022 泰安一模） 如圖，矩形 ABCD 中，點 P 是線段 AD 上一動點， O 為 BD 的中點，PO 的延長線交 BC 于 Q． （ 1）求證： OP=OQ； （ 2）若 AD=8 厘米， AB=6 厘米， P 從點 A 出發(fā)，以 1 厘米 /秒的速度向 D 運動（不與 D 重合）．設(shè)點 P 運動時間為 t 秒，請用 t 表示 PD 的長；并求 t 為何值時，四邊形 PBQD 是菱形． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專題】 證明題；壓軸題；動點型． 【分析】 （ 1）本題需先根據(jù)四邊形 ABCD 是矩形，得出 AD∥ BC， ∠ PDO=∠ QBO，再根據(jù) O 為 BD 的中點得出 △ POD≌△ QOB，即可證出 OP=OQ． （ 2）本題需先根據(jù)已知條件得出 ∠ A 的度數(shù)，再根據(jù) AD=8 厘米， AB=6 厘米，得出 BD和 OD 的長，再根據(jù)四邊形 PBQD 是菱形時，即可求出 t 的值，判斷出四邊形 PBQD 是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ PDO=∠ QBO， 又 ∵ O 為 BD 的中點， ∴ OB=OD， 在 △ POD 與 △ QOB 中， ∵ ∴△ POD≌△ QOB（ ASA）， ∴ OP=OQ； （ 2）解： PD=8﹣ t， ∵ 四邊形 PBQD 是菱形， ∴ PD=BP=8﹣ t， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A=90176。， 在 Rt△ ABP 中，由勾股定理得： AB2+AP2=BP2， 即 62+t2=（ 8﹣ t） 2， 解得： t= ， 即運動時間為 秒時，四邊形 PBQD 是菱形． 7. (2022重慶銅梁巴川一模）如圖，拋物線 y=﹣ x2+mx+n與 x軸交于 A、 B兩點，與 y軸交于點 C，拋物線的對稱軸交 x軸于點 D，已知 A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 2）． （ 1）求拋物線的表達(dá)式； （ 2）在拋物線的對稱軸上是否存在點 P，使△ PCD是以 CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出 P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由； （ 3）點 E是線段 BC上的一個動點，過點 E作 x軸的垂線與拋物線相交于點 F，當(dāng)點 E運動到什么位置時，四邊形 CDBF的面積最大？求出四邊形 CDBF的最大面積及此時 E點的坐標(biāo)． 【分析】 （ 1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出求出 m、 n的值即可； （ 2）由（ 1）的解析式求出頂點坐標(biāo)， 再由勾股定理求