【文章內(nèi)容簡介】 明： ∵ 在 △ ABC中， AD⊥ BC， BE⊥ AC， ∴∠ ADC=∠ BDF=∠ BEC=90176。 ， ∴∠ C+∠ CBE=90176。 ， ∠ C+∠ DAC=90176。 ， ∴∠ CBE=∠ DAC， ∴△ ACD∽△ BFD； （ 2）解： ∵△ ACD∽△ BFD， ∴ AD： BD=AC： BF， ∵ AC=BF， ∴ BD=AD， ∵∠ ADB=90176。 ， ∴∠ ABD=45176。 ． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意證得 △ ABD 是等腰直角三角形是關(guān)鍵． 第 19 頁（共 86 頁） 21．已知： △ ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為 A（ 0， 3）、 B（ 3， 4）、 C（ 2， 2）（正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）． （ 1）畫出 △ ABC向下平移 4個單位長度得到的 △ A1B1C1； （ 2）以點 B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出 △ A2B2C2，使 △ A2B2C2與 △ ABC位似，且位似比為 2： 1； （ 3） △ A2B2C2的面積是 10 平方單位． 【考點】作圖 位似變換；三角形的面積；作圖 平移變換． 【分析】（ 1）根據(jù)平移的方向與距離進(jìn)行畫圖即可； （ 2）根據(jù)點 B為位似中心，且位似比為 2： 1進(jìn)行畫圖即可； （ 3）連接 AC2，則 AC2=AA2=AB= ， AC2⊥ AB，據(jù)此求得 △ A2B2C2的面積． 【解答】解：（ 1）如圖所示， △ ABC向下平移 4個單位長度得到的 △ A1B1C1； （ 2）如圖所示， △ A2B2C2即為所求； （ 3）若連接 AC2，則 AC2=AA2=AB= ， AC2⊥ AB， ∴△ A2B2C2的面積 = 2 =10． 故答案為： 10． 第 20 頁（共 86 頁） 【點評】本題主要考查了利用平移變換和位似變換進(jìn)行作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握：平移圖形時，要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．解題時注意：畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求． 22．某水果店出售一種水果，每只定價 20元時，每周可賣出 300只．如果 每只水果每降價 1元，每周可多賣出 25只，設(shè)現(xiàn)在定價每只 x元（ x＜ 20）． （ 1）則這周可賣出這種水果 800﹣ 25x 個（用含 x 的代數(shù)式表示）； （ 2）求當(dāng) x為何值時，這周銷售收入為 6400元？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【分析】（ 1）設(shè)現(xiàn)在定價每只 x 元，則每只降價（ 20﹣ x）元，根據(jù) “ 如果每只水果每降價 1 元，每周可多賣出 25 只 ” ，即可得出這周該水果的銷售量； （ 2）根據(jù) “ 周銷售收入 =銷售單價 周銷售數(shù)量 ” 即可列出關(guān)于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x的值． 【解答】解：（ 1）設(shè)現(xiàn)在定價每只 x元，則每只 降價（ 20﹣ x）元， 依題意得：這周該水果的銷售量為 300+25 （ 20﹣ x） =800﹣ 25x． 故答案為： 800﹣ 25x． （ 2）依題意得： x?（ 800﹣ 25x） =6400， 整理，得： x2﹣ 32x+256=0， 解得： x1=x2=16． 答：當(dāng) x為 16元時，這周銷售收入為 6400元． 【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于 x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 23．如圖，已知四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓 O，連結(jié) BD， ∠ BAD=105176。 ， ∠ DBC=75176。 ． （ 1）求證： BD=CD； （ 2）若圓 O的半徑為 3，求 的長． 第 21 頁（共 86 頁） 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；弧長的計算． 【分析】（ 1）直接利用圓周角定理得出 ∠ DCB的度數(shù)，再利用 ∠ DCB=∠ DBC求出答案； （ 2）首先求出 的度數(shù)，再利用弧長公式直接求出答案． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于圓 O， ∴∠ DCB+∠ BAD=180176。 ， ∵∠ BAD=105176。 ， ∴∠ DCB=180176。 ﹣ 105176。=75176。 ， ∵∠ DBC=75176。 ， ∴∠ DCB=∠ DBC=75176。 ， ∴ BD=CD； （ 2）解： ∵∠ DCB=∠ DBC=75176。 ， ∴∠ BDC=30176。 ， 由圓周角定理，得， 的度數(shù)為： 60176。 ， 故 = = =π ， 答： 的長為 π ． 【點評】此題主要考查了弧長公式應(yīng)用以及圓周角定理等知識，根據(jù)題意得出 ∠ DCB 的度數(shù)是解題關(guān)鍵． 24．已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2﹣ 6x+2m+1=0有兩個實數(shù)根 x1， x2． （ 1）則 x1+x2= 6 ； x1x2= 2m+1 （用含 m的代數(shù)式表示）； （ 2）如果 2x1x2+x1+x2≥ 20，求 m的取值范圍． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式． 【分析】（ 1）由方程的系數(shù)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出 x1+x2與 x1?x2的值； （ 2）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出 m≤ 4，再結(jié)合 2x1x2+x1+x2≥ 20即可求出 m≥ 3，由此即可得出結(jié)論． 【解答】解：（ 1） ∵ 方程 x2﹣ 6x+2m+1=0有兩個實數(shù)根 x1， x2， ∴ x1+x2=6， x1?x2=2m+1． 故答案為： 6； 2m+1． 第 22 頁（共 86 頁） （ 2） ∵ 方程 x2﹣ 6x+2m+1=0 有兩個實數(shù)根 x1， x2， ∴△ =（﹣ 6） 2﹣ 4 （ 2m+1） =32﹣ 8m≥ 0， ∴ m≤ 4． ∵ 2x1x2+x1+x2≥ 20， ∴ 2 （ 2m+1） +6≥ 20， 解得： m≥ 3． ∴ m的取值范圍為 3≤ m≤ 4． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式得出關(guān)于 m的一元一次不等式是解題的關(guān)鍵． 25．如圖， AC是 ⊙ O的直徑， BC 是 ⊙ O的弦，點 P是 ⊙ O外一點，連接 PB、 AB， ∠ PBA=∠ C． （ 1）求證： PB是 ⊙ O的切線； （ 2）連接 OP，若 OP∥ BC，且 OP=8， ⊙ O的半徑為 2 ，求 BC的長． 【考點】切線的判定． 【分析】（ 1）連接 OB，由圓周角定理得出 ∠ ABC=90176。 ，得出 ∠ C+∠ BAC=90176。 ，再由 OA=OB，得出 ∠BAC=∠ OBA，證出 ∠ PBA+∠ OBA=90176。 ，即可得出結(jié)論； （ 2）證明 △ ABC∽△ PBO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出 BC 的長． 【解答】（ 1）證明：連接 OB，如圖所示： ∵ AC是 ⊙ O的直徑， ∴∠ ABC=90176。 ， ∴∠ C+∠ BAC=90176。 ， ∵ OA=OB， ∴∠ BAC=∠ OBA， ∵∠ PBA=∠ C， ∴∠ PBA+∠ OBA=90176。 ， 第 23 頁（共 86 頁） 即 PB⊥ OB， ∴ PB是 ⊙ O的切線； （ 2）解： ∵⊙ O的半徑為 2 ， ∴ OB=2 ， AC=4 ， ∵ OP∥ BC， ∴∠ C=∠ BOP， 又 ∵∠ ABC=∠ PBO=90176。 ， ∴△ ABC∽△ PBO， ∴ ， 即 ， ∴ BC=2． 【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵． 26．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，點 D、 E 是 BC 邊上的兩點且 ∠ BAC=2∠ DAE=2α ，點 D 關(guān)于直線 AE的對稱點為 F． （ 1）求證： △ ADF∽△ ABC； （ 2）若 α=45176。 ，求證： DE2=BD2+CE2． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；軸對稱的性質(zhì)． 【分析】（ 1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 ∠ EAF=∠ DAE， AD=AF，再求出 ∠ BAC=∠ DAF，然后根據(jù)兩邊對 第 24 頁（共 86 頁） 應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似證明； （ 2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得 EF=DE， AF=AD，再求出 ∠ BAD=∠ CAF，然后利用 “ 邊角邊 ” 證明 △ ABD和 △ ACF 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 CF=BD，全等三角形對應(yīng)角相等可得 ∠ ACF=∠ B，然后求出 ∠ ECF=90176。 ，最后利用勾股定理證明即可； 【解答】證明：（ 1） ∵ 點 D關(guān)于直線 AE 的對稱點為 F， ∴∠ EAF=∠ DAE， AD=AF， 又 ∵∠ BAC=2∠ DAE， ∴∠ BAC=∠ DAF， ∵ AB=AC， ∴ ， ∴△ ADF∽△ ABC； （ 2） ∵ 點 D關(guān)于直線 AE的對稱點為 F， ∴ EF=DE， AF=AD， ∵ α=45176。 ， ∴∠ BAD=90176。 ﹣ ∠ CAD， ∠ CAF=∠ DAE+∠ EAF﹣ ∠ CAD=45176。 +45176。 ﹣ ∠ CAD=90176。 ﹣ ∠ CAD， ∴∠ BAD=∠ CAF， 在 △ ABD和 △ ACF中， ， ∴△ ABD≌△ ACF（ SAS）， ∴ CF=BD， ∠ ACF=∠ B， ∵ AB=AC， ∠ BAC=2α ， α=45176。 ， ∴△ ABC是等腰直角三角形， ∴∠ B=∠ ACB=45176。 ， ∴∠ ECF=∠ ACB+∠ ACF=45176。 +45176。=90176。 ， 在 Rt△ CEF中，由勾股定理得， EF2=CF2+CE2， ∴ DE2=BD2+CE2． 【點評】本題是相似形綜合題，主要利用了軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此類題目，小題間的思路相同是解題的關(guān)鍵． 第 25 頁（共 86 頁） 27．如圖，已知： AB是 ⊙ O 的弦，過點 B作 BC⊥ AB交 ⊙ O于點 C，過點 C作 ⊙ O的切線交 AB的延長線于點 D，取 AD 的中點 E，過點 E 作 EF∥ BC 交 DC 的延長線于點 F，連接 AF 并延長交 BC 的延長線于點 G． 求證： （ 1） FC=FG； （ 2） AB2=BC?BG． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（ 1）由平行線的性質(zhì)得出 EF⊥ AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出 FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出 ∠ FAD=∠ D，證出 ∠ DCB=∠ G，由對頂角相等得出 ∠ GCF=∠ G，即可得出結(jié)論； （ 2）連接 AC，由圓周角定理證出 AC 是 ⊙ O 的直徑，由弦切角定理得出 ∠ DCB=∠ CAB，證出 ∠ CAB=∠ G，再由 ∠ CBA=∠ GBA=90176。 ，證明 △ ABC∽△ GBA，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：（ 1） ∵ EF∥ BC， AB⊥ BG， ∴ EF⊥ AD， ∵ E是 AD的中點， ∴ FA=FD， ∴∠ FAD=∠ D， ∵ GB⊥ AB， ∴∠ GAB+∠ G=∠ D+∠ DCB=90176。 ， ∴∠ DCB=∠ G， ∵∠ DCB=∠ GCF， ∴∠ GCF=∠ G ， ∴ FC=FG； 第 26 頁（共 86 頁） （ 2）連接 AC，如圖所示： ∵ AB⊥ BG， ∴ AC是 ⊙ O的直徑， ∵ FD是 ⊙ O的切線，切點為 C， ∴∠ DCB=∠ CAB， ∵∠ DCB=∠ G， ∴∠ CAB=∠ G， ∵∠ CBA=∠ GBA=90176。 ， ∴△ ABC∽△ GBA， ∴ = ， ∴ AB2=BC?BG． 【點評】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理等知識；熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題（ 2）的關(guān)鍵． 28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)是（ 8， 0），點 B 的坐標(biāo)是（ 0， 6）．點 P 從點 O 開始沿 x軸向點 A以 1cm/s的速度移動，點 Q從點 B開始沿 y軸向點 O以相同的速度移動，若 P、 Q同時出發(fā)，移動時間為 t（ s）（ 0＜ t＜ 6）． （ 1）當(dāng) PQ∥ AB時，求 t的值． （ 2）是否存在這樣 t的值，使得線段 PQ 將 △ AOB的面積分成 1： 5的兩部分．若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由． （ 3）當(dāng) t=2時，試判斷此時 △ POQ的外接圓與直線 AB 的位置關(guān)系，并說明理由． 第 27 頁（共 86 頁） 【考點】圓的綜合題． 【分析】（ 1）根據(jù)平行得到相似三