【文章內(nèi)容簡介】 BDA，又因為 ∠ BAC=90176。 ， DE⊥ BC，根據(jù)等角的余角相等，得∠ EAD=∠ ADE，從而問題得證；（ 2）由 ∠ BAC=90176。 ， DE⊥ BC， ∠ B=45176。 ，可得等腰三角形 ABC、 DEC， 第 18 頁（共 41 頁） 由 BD=AB，可得等腰三角形 ABD． 【解答】解：（ 1）證明： ∵ BD=AB， ∴∠ BAD=∠ BDA ∵ DE⊥ BC， ∴∠ BDE=90176。 又 ∠ BAC=90176。 ， ∴∠ EAD=∠ EDA． ∴ AE=DE， 即 △ ADE是等腰三角形． （ 2）還有三個等腰三角形， △ ABD、 △ ABC、 △ CDE． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定及互余的性質(zhì)．判斷等腰三角形的辦法：（ 1）根據(jù)定義，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（ 2）根據(jù)性質(zhì)，等角對等邊． 23．為慶祝 2022年元旦的到來，學校決定舉行 “ 慶元旦迎新年 ” 文藝演出，根據(jù)演出需要，用 700元購進甲、乙兩種花束共 260 朵，其中甲種花束比乙種花束少 用 100 元，已知甲種花束單價比乙種花束單價高 20%，乙種花束的單價是多少元？甲、乙兩種花束各購買了多少朵？ 【考點】分式方程的應用． 【分析】設乙種花束的單價是 x元，則甲種花束的單價為（ 1+20%） x元，根據(jù)用 700元購進甲、乙兩種花束共 260朵，列方程求解． 【解答】解：設乙種花束的單價是 x元，則甲種花束的單價為（ 1+20%） x元， 由題意得， + =260， 解得： x=， 經(jīng)檢驗： x=， 則（ 1+20%） x=3， 則買甲花束為： =100 個，乙種花束為： =160 個． 答：乙種花束的單價是 元，甲、乙兩種花束各購買 100個、 160個． 第 19 頁（共 41 頁） 【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗． 六、（本大題共 1小題，共 12分） 24．小敏與同桌小穎在課下學習中遇到這樣一道數(shù)學題： “ 如圖（ 1），在等邊三角形 ABC中，點 E在 AB 上，點 D 在 CB 的延長線上，且 ED=EC，試確定線段 AE 與 DB 的大小關(guān)系，并說明理由 ” ．小敏與小穎討論后，進行了如下解答： （ 1）取特殊情況，探索討論：當點 E 為 AB 的中點時，如圖（ 2）， 確定線段 AE 與 DB 的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論： AE = DB（填 “ ＞ ” ， “ ＜ ” 或 “=” ），并說明理由． （ 2）特例啟發(fā)，解答題目： 解：題目中， AE與 DB的大小關(guān)系是： AE=DB（填 “ ＞ ” ， “ ＜ ” 或 “=” ）．理由如下：如圖（ 3），過點 E作 EF∥ BC，交 AC于點 F．（請你將剩余的解答過程完成） （ 3）拓展結(jié)論，設計新題：在等邊三角形 ABC中，點 E 在直線 AB上，點 D在直線 BC 上，且 ED=EC，若 △ ABC的邊長為 1， AE=2，求 CD 的長（請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）． 【考點】三角形綜合題． 【分析】（ 1）當 E為中點時，過 E作 EF∥ BC 交 AC于點 F，則可證明 △ BDE≌△ FEC，可得到 AE=DB； （ 2）類似（ 1）過 E 作 EF∥ BC交 AC于點 F，可利用 AAS證明 △ BDE≌△ FEC，可得 BD=EF，再證明 △AEF是等邊三角形，可得到 AE=EF，可得 AE=DB； （ 3）分兩種情況：點 E在 AB上和在 BA的延長線上，類似（ 2）證得全等，再利用平行得到． 【解答】解：（ 1） AE=DB，理由如下： ∵ ED=EC， ∴∠ EDC=∠ ECD ∵△ ABC是等邊三角形， ∴∠ ACB=∠ ABC=60176。 ， 第 20 頁（共 41 頁） ∵ 點 E為 AB 的中點， ∴∠ ECD= ∠ ACB=30176。 ， ∴∠ EDC=30176。 ， ∴∠ D=∠ DEB=30176。 ， ∴ DB=BE， ∵ AE=BE， ∴ AE=DB； 故答案為： =； （ 2）如圖 3， ∵△ ABC為等邊三角形，且 EF∥ BC， ∴∠ AEF=∠ ABC=60176。 ， ∠ AFE=∠ ACB=60176。 ， ∠ FEC=∠ ECB； ∴∠ EFC=∠ DBE=120176。 ； ∵ ED=EC， ∴∠ D=∠ ECB， ∠ D=∠ FEC， 在 △ EFC與 △ DBE中， ， ∴△ EFC≌△ DBE（ AAS）， ∴ EF=DB； ∵∠ AEF=∠ AFE=60176。 ， ∴△ AEF為等邊三角形， ∴ AE=EF， ∴ AE=BD． （ 3） ① 如圖 4，當點 E在 AB的延長線上時， 過點 E作 EF∥ BC，交 AC的延長線于點 F； 則 ∠ DCE=∠ CEF， ∠ DBE=∠ AEF； ∠ ABC=∠ AEF， ∠ ACB=∠ AFE； ∵△ ACB為等邊三角形， ∴∠ ABC=∠ ACB=60176。 ， ∴∠ AEF=∠ AFE=60176。 ， ∠ DBE=∠ ABC=60176。 ， ∴∠ DBE=∠ EFC；而 ED=EC， 第 21 頁（共 41 頁） ∴∠ D=∠ DCE， ∠ D=∠ CEF； 在 △ FEC和 △ BDE中， ， ∴△ EFC≌△ DBE（ AAS）， ∴ EF=BD； ∵△ AEF為等邊三角形， ∴ AE=EF=2， BD=EF=2， ∴ CD=1+2=3； ② 如圖 5，當點 E在 BA的延長線上時，過點 E作 EF∥ BC，交 CA 的延長線于點 F； 類似上述解法，同理可證： DB=EF=2， BC=1， ∴ CD=2﹣ 1=1． 【點評】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 第 22 頁（共 41 頁） 20222022 學年八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題 1．下列大學的?；請D案中，是軸對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列運算正確的是（ ） A． 3x2+2x3=5x5 B．（ π ﹣ ） 0=0 C． 3﹣ 2=﹣ 6 D．（ x3） 2=x6 3．若分式 有意義，則 x的取值范圍是（ ） A． x≠ 3 B． x≠ ﹣ 3 C． x＞ 3 D． x＞ ﹣ 3 4．若 x2﹣ kxy+9y2是一個完全平方式，則 k的值為（ ） A． 3 B． 177。 6 C． 6 D． +3 5．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ） A． 3， 4， 8 B． 5， 6， 11 C． 12， 5， 6 D． 3， 4， 5 6．如圖，在 △ ABC中， ∠ A=50176。 ， ∠ ABC=70176。 ， BD平分 ∠ ABC，則 ∠ BDC的度數(shù)是（ ） A． 85176。 B． 80176。 C． 75176。 D． 70176。 7．如圖， AB=AD，要說明 △ ABC≌△ ADE，需添加的條件不能是（ ） A． ∠ E=∠ C B． AC=AE C． ∠ ADE=∠ ABC D． DE=BC 8．已知 ﹣ = ，則 的值為（ ） A． B． C．﹣ 2 D． 2 第 23 頁（共 41 頁） 9．若分式方程 無解，則 m的值為（ ） A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D． 3 10．如圖， AD是 △ ABC的中線， E， F分別是 AD和 AD 延長線上的點，且 DE=DF，連接 BF， CE、下列說法： ① CE=BF； ②△ ABD和 △ ACD面積相等； ③ BF∥ CE； ④△ BDF≌△ CDE．其中正確的有（ ） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 二、填空題（共 9小題，每小題 3分，滿分 27分） 11．計算： ﹣ |﹣ 5|+（ 2022﹣ π ） 0﹣（ ） ﹣ 2= ． 12．若分式 的值為 0，則 x= ． 13．已知 2x=3，則 2x+3的值為 ． 14．石墨烯目前是世界上最薄、最堅硬的納米材料，其理論厚度僅 米，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為 ． 15．一個多邊形的內(nèi)角和等于 1260176。 ，則這個多邊形是 邊形． 16．一個三角形等腰三角形的兩邊長分別為 13 和 7，則周長為 ． 17．如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ C=90176。 ， ∠ BAC=60176。 ， ∠ BAC的平分線 AD 長為 8cm，則 BC= ． 18．如圖， △ ABC中， AB=AC=13cm， AB的垂直平分線交 AB于 D，交 AC 于 E，若 △ EBC的周長為 21cm，則 BC= cm． 第 24 頁（共 41 頁） 19．如圖是我國古代數(shù)學家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為 “ 楊輝三角 ” ．它的發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的！ “ 楊輝三角 ” 中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應了（ a+b） n（ n為非負整數(shù)）的展開式中 a按次數(shù)從大到小排列的項的系數(shù)．例如，（ a+b） 2=a2+2ab+b2 展開式中的系數(shù) 1 恰好對應圖中第三行的數(shù)字；再如，（ a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的系數(shù) 1 恰好對應圖中第四行的數(shù)字．請認真觀察此圖，寫出（ a+b） 4的展開式，（ a+b） 4= ． 三、解答題（本大題共 7小題，共 63分） 20．計算 （ 1）﹣ ab2c?（﹣ 2a2b） 2247。 6a2b3 （ 2） 4（ x+1） 2﹣（ 2x﹣ 5）（ 2x+5）． 21．分解因式 （ 1） x2（ x﹣ 2）﹣ 16（ x﹣ 2） （ 2） 2x3﹣ 8x2+8x． 22．（ 1）先化簡，再求值：（ 1﹣ ） 247。 ，其中 a= ﹣ 1 （ 2）解方程式： ． 23． △ ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示． A（ 2， 3）， B（ 3， 1）， C（﹣ 2，﹣ 2）三點在格點上． （ 1）作出 △ ABC關(guān)于 y軸對稱的 △ A1B1C1； 第 25 頁（共 41 頁） （ 2）直接寫出 △ ABC關(guān)于 x軸對稱的 △ A2B2C2的各點坐標； （ 3）求出 △ ABC的面積． 24．如圖，點 E， F在 BC上， BE=CF， ∠ A=∠ D， ∠ B=∠ C， AF與 DE交于點 O． （ 1）求證： AB=DC； （ 2）試判斷 △ OEF的形狀，并說明理由． 25． 2022年 12月 28 日滬昆高 鐵已經(jīng)開通運營，從昆明到某市，可乘普通列車或高鐵，已知高鐵的行駛里程是 400千米，普通列車的行駛里程是高鐵的行駛里程的 ． （ 1）求普通列車的行駛里程； （ 2）若高鐵的平均速度（千米 /時）是普通列車平均速度（千米 /時）的 ，且乘坐高鐵所需時