【文章內(nèi)容簡介】 進(jìn)而表示出十字差，化簡即可得證； （ 3）設(shè)正中間的數(shù)為 a，則上下兩個數(shù)為 a﹣ 62， a+64，左右兩個數(shù)為 a﹣ 1，a+1，根據(jù)相應(yīng)的 “十字差 ”為 2022 求出 a 的值即可． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意得： 6 8﹣ 2 12=48﹣ 24=24； 故答案為： 24； （ 2）定值為 k2﹣ 1=（ k+1）（ k﹣ 1）； 證明：設(shè)十字星中心的數(shù)為 x，則十字星左右兩數(shù)分別為 x﹣ 1， x+1，上下兩數(shù)分別為 x﹣ k， x+k（ k≥ 3）， 十字差為（ x﹣ 1）（ x+1）﹣（ x﹣ k）（ x+k） =x2﹣ 1﹣ x2+k2=k2﹣ 1， 故這個定值為 k2﹣ 1=（ k+1）（ k﹣ 1）； （ 3）設(shè)正中間的數(shù)為 a，則上下兩個數(shù)為 a﹣ 62， a+64，左右兩個數(shù)為 a﹣ 1，a+1， 根據(jù)題意得：（ a﹣ 1）（ a+1）﹣（ a﹣ 62）（ a+64） =2022， 解得： a=975． 故答案為： 975． 24． △ ABC 是等邊三角形，點(diǎn) D、 E 分別在邊 AB、 BC 上， CD、 AE 交于點(diǎn) F， ∠AFD=60176。． （ 1）如圖 1，求證： BD=CE； 第 20 頁（共 50 頁） （ 2）如圖 2， FG 為 △ AFC 的角平分線，點(diǎn) H 在 FG 的延長線上， HG=CD，連接HA、 HC，求證： ∠ AHC=60176。； （ 3）在（ 2）的條件下，若 AD=2BD， FH=9，求 AF 長． 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出 AB=BC， ∠ BAC=∠ C=∠ ABE=60176。，根據(jù)SAS 推出 △ ABE≌△ BCD，即可證得結(jié)論； （ 2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得 CM=CN，利用 ∠ CEM=∠ ACE+∠ CAE=60176。+∠CAE， ∠ CGN=∠ AFH+∠ CAE=60176。+∠ CAE，得出 ∠ CEM=∠ CGN，然后 根據(jù) AAS 證得△ ECM≌△ GCN，得出 CG=CE， EM=GN， ∠ ECM=∠ GCN，進(jìn)而證得 △ AMC≌△ HNC，得出 ∠ ACM=∠ HCN， AC=HC，從而證得 △ ACH 是等邊三角形，證得 ∠ AHC=60176。； （ 3）在 FH 上截取 FK=FC，得出 △ FCK 是等邊三角形，進(jìn)一步得出 FC=KC=FK， ∠ACF=∠ HCK，證得 △ AFC≌△ HKC 得出 AF=HK，從而得到 HF=AF+FC=9，由 AD=2BD可知 AG=2CG，再由 = ，根據(jù)等高三角形面積比等于底的比得出 == =2，再由 AF+FC=9 求得． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， ∵△ ABC 是等邊三角形， ∴∠ B=∠ ACE=60176。BC=AC， ∵∠ AFD=∠ CAE+∠ ACD=60176?！?BCD+∠ ACD=∠ ACB=60176。， ∴∠ BCD=∠ CAE， 在 △ ABE 和 △ BCD 中， ∴△ ABE≌△ BCD（ ASA）， 第 21 頁（共 50 頁） ∴ BD=CE； （ 2）如圖 2，作 CM⊥ AE 交 AE 的延長線于 M，作 CN⊥ HF 于 N， ∵∠ EFC=∠ AFD=60176。 ∴∠ AFC=120176。， ∵ FG 為 △ AFC 的角平分線， ∴∠ CFH=∠ AFH=60176。， ∴∠ CFH=∠ CFE=60176。， ∵ CM⊥ AE， CN⊥ HF， ∴ CM=CN， ∵∠ CEM=∠ ACE+∠ CAE=60176。+∠ CAE， ∠ CGN=∠ AFH+∠ CAE=60176。+∠ CAE， ∴∠ CEM=∠ CGN， 在 △ ECM 和 △ GCN 中 ∴△ ECM≌△ GCN（ AAS）， ∴ CE=CG， EM=GN， ∠ ECM=∠ GCN， ∴∠ MCN=∠ ECG=60176。， ∵△ ABE≌△ BCD， ∵ AE=CD， ∵ HG=CD， ∴ AE=HG， ∴ AE+EM=HG+GN，即 AM=HN， 在 △ AMC 和 △ HNC 中 ∴△ AMC≌△ HNC（ SAS）， ∴∠ ACM=∠ HCN， AC=HC， ∴∠ ACM﹣ ∠ ECM=∠ HCN﹣ ∠ GCN，即 ∠ ACE=∠ HCG=60176。， ∴△ ACH 是等邊三角形， 第 22 頁（共 50 頁） ∴∠ AHC=60176。； （ 3）如圖 3，在 FH 上截取 FK=FC， ∵∠ HFC=60176。， ∴△ FCK 是等邊三角形， ∴∠ FKC=60176。， FC=KC=FK， ∵∠ ACH=60176。， ∴∠ ACF=∠ HCK， 在 △ AFC 和 △ HKC 中 ∴△ AFC≌△ HKC（ SAS）， ∴ AF=HK， ∴ HF=AF+FC=9， ∵ AD=2BD， BD=CE=CG， AB=AC， ∴ AG=2CG， ∴ = = ， 作 GW⊥ AE 于 W， GQ⊥ DC 于 Q， ∵ FG 為 △ AFC 的角平分線， ∴ GW=GQ， ∵ = = = ， ∴ AF=2CF， ∴ AF=6． 第 23 頁（共 50 頁） 八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 1．下列四個圖案，其中是軸對稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M（﹣ 2， 3）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ） A． 3， 5， 6 B． 2， 3， 4 C． 1， ， 2 D． 3， 4， 4．如圖， ∠ C=∠ D=90176。， AC=AD，那么 △ ABC 與 △ ABD 全等的理由是（ ） A． HL B． SAS C． ASA D． AAS 第 24 頁（共 50 頁） 5．在 ，﹣ ， ， 這四個數(shù)中，無理數(shù)有（ ） A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 6．已知地球上海洋面積約為 361000000km2， 361000000 用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（ ） A． 107 B． 107 C． 108 D． 109 7．在平面直角坐標(biāo)系中，把直線 y=2x﹣ 3 沿 y 軸向上平移 2 個單位后，得到的直線的函數(shù)表達(dá)式為（ ） A． y=2x+2 B． y=2x﹣ 5 C． y=2x+1 D． y=2x﹣ 1 8．在一次 800 米的長跑比賽中，甲、乙兩人所跑的路程 s（米）與各自所用時間 t（秒）之間的函數(shù)圖象分別為線段 OA 和折線 OBCD，則下列說法正確的是（ ） A．甲的速度隨時間的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第 180 秒時，兩人相遇 D．在起跑后第 50 秒時，乙在甲的前面 二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分） 9． 9 的算術(shù)平方根是 ． 10． P（﹣ 3， 2）關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 11．已知 △ ABC≌△ DEF，若 ∠ B=40176。， ∠ D=30176。，則 ∠ F= 176。． 12．如圖，在 △ ABC 中， ∠ B=40176。， BC 邊的垂直平分線交 BC 于 D，交 AB 于 E，若 CE 平分 ∠ ACB，則 ∠ A= 176。． 第 25 頁（共 50 頁） 13．已知 △ ABC 的三邊長分別為 1 13，則最長邊上的中線長為 ． 14．已知一次函數(shù) y=2x+b﹣ 1， b= 時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)． 15．已知點(diǎn) A（ 3， y1）、 B（ 2， y2）在一次函數(shù) y=﹣ x+3 的圖象上，則 y1， y2的大小關(guān)系是 y1 y2．（填 ＞ 、 =或 ＜ ） 16．直線 y=x+6 與 x 軸、 y 軸圍成的三角形面積為 （平方單位）． 17．如圖，已知一次函數(shù) y=2x+b 和 y=kx﹣ 3（ k≠ 0）的圖象交于點(diǎn) P（ 4，﹣ 6），則二元一次方程組 的解是 ． 18．如圖， △ AOB 是等腰三角形， OA=OB，點(diǎn) B 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 1， 1），則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ． 三、解答題（本大題共 10 小題，共 96 分） 19．（ 1）計算： ﹣（ 1+ ） 0+ （ 2）求 x 的值：（ x+4） 3=﹣ 64． 20．如圖：點(diǎn) C， D 在 AB 上，且 AC=BD， AE=FB， DE=FC．求證： △ ADE≌△ BCF． 第 26 頁（共 50 頁） 21．如圖， AC=AD，線段 AB 經(jīng)過線段 CD 的中點(diǎn) E，求證： BC=BD． 22．圖 圖 2 是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為 1，點(diǎn) A 和點(diǎn) B 在小正方形的頂點(diǎn)上． （ 1）在圖 1 中畫出 △ ABC（點(diǎn) C 在小正方形的頂點(diǎn)上），使 △ ABC 為直角三角形（畫一個即可）； （ 2）在圖 2 中畫出 △ ABD（點(diǎn) D 在小正方形的頂點(diǎn)上），使 △ ABD 為等腰三角形（畫一個即可）． 23．如圖，一架 米長的梯子 AB，斜靠在一豎直的墻 AC 上，這時梯子的頂端A 到墻底端 C 的距離為 米，如果梯子的底端 B 沿 CB 向外平移 米至 B1，求梯子頂端 A 沿墻下滑的距離 AA1 的長度． 第 27 頁（共 50 頁） 24．已知一次函數(shù) y1=kx+b 與函數(shù) y=﹣ 2x 的圖象平行，且與 x 軸的交點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 2． （ 1）求一次函數(shù) y1=kx+b 的表達(dá)式； （ 2）在給定的網(wǎng)格中，畫出函數(shù)一次函數(shù) y2=x+1 的圖象，并求出一次函數(shù) y1=kx+b與 y=x+1 圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)； （ 3）根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng) x 取何值時， y1＞ y2． 25．如圖， △ ABC 是等邊三角形，點(diǎn) D、 E 分別是 BC、 CA 延長線上的點(diǎn)，且 CD=AE，DA 的延長線交 BE 于點(diǎn) F． （ 1）求證： △ ABE≌△ CAD； （ 2）求 ∠ BFD 的度數(shù)． 26．某工廠每天生產(chǎn) A、 B 兩種款式的布制環(huán)保購物袋共 4500 個，已知 A 種購物袋成本 2 元 /個，售價 元 /個； B 種購物袋成本 3 元 /個，售價 元 /個．設(shè)第 28 頁（共 50 頁） 每天生產(chǎn) A 種購物袋 x 個，該工廠每天共需成本 y 元，共獲利 w 元． （ 1）求出 y 與 x 的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）求出 w 與 x 的函數(shù)表達(dá)式； （ 3）如果該廠每天最多投入成本 10000 元，那么每天最多獲利多少元？ 27．為促進(jìn)節(jié)能減排，倡導(dǎo)節(jié)約用電，某市將實行居民生活用電階梯電價方案，圖中的折線反映了每戶居民每月用電電費(fèi) y（單位：元）與用電量 x（單位：度）間的函數(shù)關(guān)系． （ 1）根據(jù)圖象，階梯電價方案分為三個檔次，請?zhí)顚懴卤恚? 檔次 第一檔 第二檔 第三檔 每月用電量 x（度） 0＜ x≤ 140 （ 2）小明家某月用電 70 度，需交電費(fèi) 元； （ 3）求第二檔每月電費(fèi) y（元）與用電量 x（單位：度）之間的函數(shù)表達(dá)式； （ 4）在每月用電量超過 230 度時，每度電比第二檔多 m 元，小剛家某月用電 290度，繳納電費(fèi) 153 元，求 m 的值． 28．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB： y=﹣ x+b 交 y 軸于點(diǎn) A（ 0， 4），交 x軸于點(diǎn) B． （ 1）求直線 AB 的表達(dá)式和點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）直線 l 垂直平分 OB 交 AB 于點(diǎn) D，交 x 軸于點(diǎn) E，點(diǎn) P 是直線 l 上一動點(diǎn)，且在點(diǎn) D 的上方，設(shè)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為 n． ① 用含 n 的代數(shù)式表示 △ ABP 的面積； ② 當(dāng) S△ ABP=8 時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； ③ 在 ② 的條件下，以 PB 為斜邊在第一象限作等腰直角 △ PBC，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)． 第 29 頁（共 50 頁） 第 30 頁（共 50 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 3 分，共 24 分） 1．下列四個圖案，其中是軸對稱圖形的是（ ） A