【文章內(nèi)容簡介】 B 上，分別作DE⊥ AC， DF⊥ BC，垂足分別為 E、 F，得四邊形 DECF． （ 1）直接寫出圖形中的相似三角形； （ 2）若點(diǎn) D 分 AB 為 3： 2 兩部分，求四邊形 DECF 的面積． 第 22 頁（共 58 頁） 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定． 【分析】 （ 1）由平行線分三角形得到的新三角形與原三角形相似即可得到結(jié)論； （ 2）先判斷出四邊形 CEDF 是矩形，再求出 DE， DF，即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ DE⊥ AC， ∴∠ AED=90176。 ∵∠ C=90176。， ∴ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， 同理： △ DBF∽△ ABC ∴△ ADE∽△ DBF∽△ ABC， （ 2） ∵ ， ∴ ， ∵ BC=4， ∵△ ADE∽△ ABC， ∴ ， ∴ DE= = ， 同理： DF= ， ∵ DE∥ BC， DF∥ AC， ∴ 四邊形 CEDF 是平行四邊形， ∵∠ C=90176。， ∴ 平行四邊形 CEDF 是矩形， 第 23 頁（共 58 頁） S 矩形 CEDF=DE DF= ． 26．如圖， △ ABC 為等邊三角形，點(diǎn) P 是邊 AC 的延長線上一點(diǎn)，連接 BP，作 ∠BPQ 等于 60176。，直線 PQ 與直線 BC 交于點(diǎn) N． （ 1）若點(diǎn) C 平分 AP 時，求證： PB=PN； （ 2）若點(diǎn) C 不平分時，求證： AP?PC=AB?CN； （ 3）若 BC=2， CN= ，求 ∠ N 的正切值． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題． 【分析】 （ 1）首先利用等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證出 ∠ CPB=∠ N，再證出BC=PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出 ∠ PBC=∠ CPB，因此 ∠ PBC=∠ N，即可得出結(jié)論； （ 2）證明 △ PAB∽△ NCP，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論； （ 2）過點(diǎn) P 作 PD⊥ CN 于點(diǎn) D，利用（ 1）中的結(jié)論可求出 PC 的長，再根據(jù)勾股定理可求出 PD，進(jìn)而得到 DN，利用正切的定義即可求出 ∠ N 的正切值． 【解答】 （ 1）證明： ∵△ ABC 為等邊三角形， ∴∠ ACB=∠ A=∠ ABC=60176。， BC=AC， ∴∠ PCN=∠ A=60176。， ∵∠ ACB=∠ CBP+∠ CPB=60176。， ∠ BPQ=∠ PBN+∠ N=60176。 ∴∠ CPB=∠ N， ∵ 點(diǎn) C 平分 AP， ∴ AC=PC， ∴ BC=PC， ∴∠ PBC=∠ CPB， ∴∠ PBC=∠ N， ∴ PB=PN； 第 24 頁（共 58 頁） （ 2）證明：由（ 1）得： ∠ PCN=∠ A=60176。， ∠ CPB=∠ N， ∴△ PAB∽△ NCP， ∴ ， ∴ AP?PC=AB?CN； （ 3）解：過點(diǎn) P 作 PD⊥ CN 于點(diǎn) D，如圖所示： ∵△ ABC 為等邊三角形， ∴ AB=AC=BC=2， 由（ 1）知， AP?CP=AB?NC， ∴ （ PC+2） PC=2 ， 整理得： PC2+2PC﹣ 3=0， ∴ PC=1 或 PC=﹣ 3（舍去）， 在 Rt△ PCD 中， ∠ PDC=90176。， ∠ PCD=60176。 ∴∠ CPD=30176。， ∴ CD= CP= ， 由勾股定理得： PD= = ， ∴ DN=CN﹣ CD= ﹣ =1， 在 Rt△ NDP 中， ∠ PDN=90176。， tan∠ N= = = ． 27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，過點(diǎn) B、 C 的直線解析式為 y=x﹣ 3． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）點(diǎn) P 為拋物線上位于直線 BC 下方的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PH⊥ 直線 BC 于點(diǎn) H第 25 頁（共 58 頁） （且點(diǎn) H 在線段 BC 上），設(shè) PH=y． P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 x，寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)線段 y 的長最大時，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，點(diǎn) Q 為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，直線 PQ 經(jīng)過點(diǎn) H，且交 y 軸于點(diǎn) K，若 HK= KQ，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn) Q 是否在（ 1）中的拋物線上． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）求出 B、 C 坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題． （ 2）如圖 1 中，作 PG⊥ AB 于 G 交 BC 于 N，先證明 △ HPN 是等腰直角三角形，根據(jù) PH= PN 根據(jù)二次函數(shù)即可解決問題． （ 3）如圖 2 中，設(shè)直線 PH 解析式為 y=﹣ x+b，先求出 b，再根據(jù)條件求出 Q 的坐標(biāo)即可判斷． 【解答】 解：（ 1）由題意點(diǎn) B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）， ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 B、 C， ∴ 解得 ， ∴ y=x2﹣ 2x﹣ 3 （ 2）如圖 1 中，作 PG⊥ AB 于 G 交 BC 于 N， ∵ OC=OB， ∴∠ GBN=∠ GNB=45176。， ∵∠ MNP=∠ GNB=45176。， ∴△ HNP 是等腰直角三角形， 第 26 頁（共 58 頁） ∴ PH= PN ∴ y= [x﹣ 3﹣（ x2﹣ 2x﹣ 3） ] = （﹣ x2+3x） =﹣ （ x﹣ ） 2+ ∴ x= 時， PH 的值最大， 此時點(diǎn) p 坐標(biāo)為（ ）． （ 3）如圖 2 中，設(shè)直線 PH 解析式為 y=﹣ x+b，把 P（ ，﹣ ）代入得到 b=﹣ ， ∴ 直線 PH 解析式為 y=﹣ x﹣ ， 由 解得 ， ∴ 點(diǎn) H 坐標(biāo)（ ，﹣ ）， ∵ HK= KQ， ∴ Qx=177。 =177。 ， ∴ 點(diǎn) Q 坐標(biāo)（﹣ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）， ∵ y=x2﹣ 2x﹣ 3， x=﹣ 時， y=﹣ ， x= 時， y=﹣ ， ∴ 點(diǎn) Q（﹣ ，﹣ ）在拋物線上，點(diǎn) Q′（ ，﹣ ）不在拋物線上． 第 27 頁（共 58 頁） 九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共 8小題，每小題 3分，滿分 24分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．（ x﹣ 1）（ x+2） =x2+3 B． =0 C．（ x﹣ 1） 2=2x﹣ 2 D． ax2+2x﹣ 1=0 2．一元二次方程 x2﹣ 6x+5=0配方后可變形為（ ） A．（ x﹣ 3） 2=14 B．（ x﹣ 3） 2=4 C．（ x+3） 2=14 D．（ x+3） 2=4 3．在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其它均相同的 3 個紅球和 2 個白球，從中任意摸出一個球，則摸出白球的概率是（ ） A． B． C． D． 4．如圖， PA、 PB是 ⊙ O的切線， A、 B為切點(diǎn)，若 OA=2， ∠ P=60176。 ，則弧 的長為（ ） 第 28 頁（共 58 頁） A． π B． C． D． 5．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為 18cm，圓心角為 240176。 的扇形，則這個圓錐的底面半徑長是（ ） A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 18cm 6．下表是某公司今年 8月份一周的利潤情況記錄： 日期（日） 7 8 9 10 11 12 13 當(dāng)日利潤（萬元） 2 根據(jù)上表，你估計該公司今年 8月份（ 31 天）的總利潤是（ ） A． 2萬元 B． 14萬元 C． 60萬元 D． 62萬元 7．如圖，點(diǎn) P 在 ⊙ O 的直徑 BA 延長線上， PC 與 ⊙ O 相切，切點(diǎn)為 C，點(diǎn) D 在 ⊙ O 上，連接PD、 BD，已知 PC=PD=BC．下列結(jié)論： （ 1） PD 與 ⊙ O相切； （ 2）四邊形 PCBD是菱形； （ 3） PO=AB； （ 4） ∠ PDB=120176。 ． 其中，正確的個數(shù)是（ ） A． 4個 B． 3個 C． 2個 D． 1個 8．如圖，將正六邊形 ABCDEF 放置在直角坐標(biāo)系內(nèi)， A（﹣ 2， 0），點(diǎn) B在原點(diǎn)，把正六邊形 ABCDEF沿 x軸正半軸作無滑動的連續(xù)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn) 60176。 ，經(jīng)過 2022次翻轉(zhuǎn)之后，點(diǎn) C的坐標(biāo)是（ ） 第 29 頁（共 58 頁） A．（ 4032， 0） B．（ 4032， 2 ） C．（ 4031， ） D．（ 4033， ） 二、填空題（共 10小題，每小題 3分，滿分 30分） 9．方程 x2﹣ 2x=0的根是 ． 10．已知關(guān)于 x的方程 x2+3x+a=0有一個根為﹣ 2，則另一個根為 ． 11．若關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+2x﹣ 1=0無解，則 a的取值范圍是 ． 12．若一三角形的三邊長分別為 1 13，則此三角形的內(nèi)切圓半徑為 ． 13．已知點(diǎn) A的坐標(biāo)是（﹣ 7，﹣ 5）， ⊙ A的半徑是 6，則 ⊙ A與 y軸的位置關(guān)系是 ． 14．若關(guān)于 x的一元二次方程（ k﹣ 1） x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，則 k的取值范圍是 ． 15．如圖，在 ⊙ O中，弦 AB、 CD相交于點(diǎn) P，若 AB=CD， ∠ APO=65176。 ，則 ∠ APC= 度． 16．設(shè) α 、 β 是方程 x2+x﹣ 2022=0的兩個實(shí)數(shù)根，則 α 2+2α +β 的值為 ． 17．圓內(nèi)接四邊形 ABCD，兩組對邊的延長線分別相交于點(diǎn) E、 F，且 ∠ E=40176。 ， ∠ F=60176。 ，求 ∠ A= 176。 ． 18．如圖， ⊙ O的半徑為 2，點(diǎn) O到直線 l的距離為 4，過 l上任一點(diǎn) P作 ⊙ O的切線，切點(diǎn)為 Q；若以 PQ為邊作正方形 PQRS，則正方形 PQRS的面積最小值為 ． 第 30 頁（共 58 頁） 三、解答題（共 10小題，滿分 96分） 19．解下列方程： （ 1） x2+4x﹣ 45=0； （ 2）（ x﹣ 5） 2﹣ 2x+10=0． 20．某種服裝原價每件 150 元，經(jīng)兩次降價，現(xiàn)售價每件 96 元，求該服裝平均每次降價的百分率． 21．甲、乙兩名隊(duì)員參加射擊訓(xùn)練，成績分別被制成如圖兩個統(tǒng)計圖： 根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如表： 平均成績 /環(huán) 中位數(shù) /環(huán) 眾數(shù) /環(huán) 方差 甲 a 7 7 c 乙 7 b 8 （ 1）寫出表格中 a， b， c的值： a= ， b= ， c= ； （ 2）分別運(yùn)用表中的四個統(tǒng)計量，簡要分析這兩名隊(duì)員的射擊訓(xùn)練成績，若選派其中一名參賽，你認(rèn)為應(yīng)選哪名隊(duì)員？ 22．甲、乙兩人都握有分別標(biāo)記為 A、 B、 C的三張牌，兩人做游戲，游戲規(guī)則是：若兩人出的牌不同，則 A勝 B， B勝 C， C勝 A；若兩人出的牌相同，則為平局． （ 1）用樹狀圖或列表等方法，列出甲、乙兩人一次游戲的所有可能的結(jié)果； （ 2）求出現(xiàn)平局的概率． 23．已知關(guān)于 x的方程 mx2﹣（ m+2） x+2=0（ m≠ 0）． 第 31 頁（共 58 頁） （ 1）求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根； （ 2）若這個方程的兩個實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù) m的值． 24．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。 ． （ 1）利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（ 保留作圖痕跡，不寫作法） ① 作 AC 的垂直平分線，交 AB于點(diǎn) O，交 AC于點(diǎn) D； ② 以 O為圓心， OA為半徑作圓，交 OD 的延長線于點(diǎn) E． （ 2）在（ 1）所作的圖形中，解答下列問題． ① 點(diǎn) B與 ⊙ O的位置關(guān)系是 ；（直接寫出答案） ② 若 DE=2， AC=8，求 ⊙ O的半徑． 25．如圖， AB是 ⊙ O的直徑， AC 是弦，弦 AE平分 ∠ BAC， ED⊥ AC，交 AC的延長線于點(diǎn) D． （ 1）求證： DE是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 AB=10， AC=6，求 DE的長． 26．已知，點(diǎn) P是正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接 PA， PB， PC．將 △ PAB繞點(diǎn) B順時針旋轉(zhuǎn) 90176。到 △ P′CB 的位置（如圖）． （ 1）設(shè) AB的長為 a， PB的長為 b（ b＜ a），求 △ PAB旋轉(zhuǎn)到 △ P′CB 的過程中邊 PA所掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積； （ 2）若 PA=2， PB=4， ∠ APB=135176。 ，求 PC 的長． 第 32 頁（共 58 頁） 27．某商店以 40元 /千克的單價新進(jìn)一批茶葉，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，銷售量 y（千克）與銷售單價 x（元 /千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示． （ 1）根據(jù)圖象求 y與 x的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）商店想在銷售成本不超過 3000 元的情況下，使銷售利潤達(dá)到 2400 元，銷售單價應(yīng)定為多 少？ 28．在 Rt△ ABC中， ∠ B=90176。 ， AB=BC=12cm，點(diǎn)