【文章內(nèi)容簡介】 ． 【解答】 解：（ 1）如圖所示： △ A1B1C1，即為所求， A1（﹣ 2，﹣ 4）； 第 17 頁（共 43 頁） （ 2）如圖所示： △ A2B2C2，即為所求． 20．某花店將進貨價為 20 元 /盒的百合花，在市場參考價 28～ 38 元的范圍內(nèi)定價 36 元 /盒銷售，這樣平均每天可售出 40 盒，經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每盒下調 1 元，則平均每天可多銷售 10 盒，要使每天的利潤達到 750 元，應將每盒百合花在售價上下調多少元？ 【考點】 一元二次方程的應用． 【分析】 設應將售價下調 x 元，利用每一盒的利潤 銷售的數(shù)量 =獲得的利潤列出方程解答即可． 【解答】 解：設應將售價下調 x 元，由題意得 （ 36﹣ 20﹣ x）（ 40+10x） =750， 解得： x1=1， x2=11， 當 x=11 時， 36﹣ 11=25，不在 28 元 ～ 38 元的范圍內(nèi)，不合題意，舍去， 答：應將每盒百合花在售價下調 1 元． 21．如圖，點 D 為 ⊙ O 上一點，點 C 在直徑 BA 的延長線上，且 ∠ CDA=∠ CBD． （ 1）判斷直線 CD 和 ⊙ O 的位置關系，并說明理由． （ 2）過點 B 作 ⊙ O 的切線 BE 交直線 CD 于點 E，若 AC=2， ⊙ O 的半徑是 3，求BE 的長． 第 18 頁（共 43 頁） 【考點】 切線的判定與性質． 【分析】 （ 1）連接 OD，根據(jù)圓周角定理求出 ∠ DAB+∠ DBA=90176。，求出 ∠ CDA+∠ADO=90176。，根據(jù)切線的判定推出即可； （ 2）根據(jù)勾股定理求出 DC，根據(jù)切線長定理求出 DE=EB，根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】 解：（ 1）直線 CD 和 ⊙ O 的位置關系是相切， 理由是：連接 OD， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=90176。， ∴∠ DAB+∠ DBA=90176。， ∵∠ CDA=∠ CBD， ∴∠ DAB+∠ CDA=90176。， ∵ OD=OA， ∴∠ DAB=∠ ADO， ∴∠ CDA+∠ ADO=90176。， 即 OD⊥ CE， 已知 D 為 ⊙ O 的一點， ∴ 直線 CD 是 ⊙ O 的切線， 即直線 CD 和 ⊙ O 的位置關系是相切； （ 2） ∵ AC=2， ⊙ O 的半徑是 3， ∴ OC=2+3=5， OD=3， 在 Rt△ CDO 中，由勾股定理得： CD=4， ∵ CE 切 ⊙ O 于 D， EB 切 ⊙ O 于 B， ∴ DE=EB， ∠ CBE=90176。， 第 19 頁（共 43 頁） 設 DE=EB=x， 在 Rt△ CBE 中，由勾股定理得： CE2=BE2+BC2， 則（ 4+x） 2=x2+（ 5+3） 2， 解得： x=6， 即 BE=6． 22．九年級數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表： 售價（元 /件） 100 110 120 130 … 月銷量（件） 200 180 160 140 … 已知該運動服的進價為每件 60 元，設售價為 x 元． （ 1）請用含 x 的式子表示： ① 銷售該運動服每件的利潤是 （ x﹣ 60 ）元；② 月銷量是 （ 400﹣ 2x ）件；（直接寫出結果） （ 2）設銷售該運動服的月利潤為 y 元，那么售價為多少時，當月的利潤最大，最大利潤是多少？ 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）根據(jù)利潤 =售價﹣進價求出利潤，運用待定系數(shù)法求出月銷量； （ 2）根據(jù)月利潤 =每件的利潤 月銷量列出函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最大利潤． 【解答】 解：（ 1） ① 銷售該運動服每件的利潤是（ x﹣ 60）元； ② 設月銷量 W 與 x 的關系式為 w=kx+b， 由題意得， ， 解得， ， ∴ W=﹣ 2x+400； 第 20 頁（共 43 頁） （ 2）由題意得， y=（ x﹣ 60）（﹣ 2x+400） =﹣ 2x2+520x﹣ 24000 =﹣ 2（ x﹣ 130） 2+9800， ∴ 售價為 130 元時，當月的利潤最大，最大利潤是 9800 元． 23．探究：如圖 1 和 2，四邊形 ABCD 中，已知 AB=AD， ∠ BAD=90176。，點 E、 F 分別在 BC、 CD 上， ∠ EAF=45176。． （ 1） ① 如圖 1，若 ∠ B、 ∠ ADC 都是直角，把 △ ABE 繞點 A 逆時針旋轉 90176。至 △ADG，使 AB 與 AD 重合，則能證得 EF=BE+DF，請寫出推理過程； ② 如圖 2，若 ∠ B、 ∠ D 都不是直角，則當 ∠ B 與 ∠ D 滿足數(shù)量關系 ∠ B+∠ D=180176。 時，仍有 EF=BE+DF； （ 2）拓展：如圖 3，在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。， AB=AC=2 ，點 D、 E 均在邊 BC上，且 ∠ DAE=45176。．若 BD=1，求 DE 的長． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1） ① 根據(jù)旋轉的性質得出 AE=AG， ∠ BAE=∠ DAG， BE=DG，求出 ∠ EAF=∠ GAF=45176。，根據(jù) SAS 推出 △ EAF≌△ GAF，根據(jù)全等三角形的性質得出 EF=GF，即可求出答案； ② 根據(jù)旋轉的性質得出 AE=AG， ∠ B=∠ ADG， ∠ BAE=∠ DAG，求出 C、 D、 G 在一條直線上，根據(jù) SAS 推出 △ EAF≌△ GAF，根據(jù)全等三角形的性質得出 EF=GF，即可求出答案； （ 2）根據(jù)等腰直角三角形性質好勾股定理求出 ∠ ABC=∠ C=45176。， BC=4，根據(jù)旋轉的性質得出 AF=AE， ∠ FBA=∠ C=45176。， ∠ BAF=∠ CAE，求出 ∠ FAD=∠ DAE=45176。，證 △ FAD≌△ EAD，根據(jù)全等得出 DF=DE，設 DE=x，則 DF=x， BF=CE=3﹣ x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出 x 即可． 第 21 頁（共 43 頁） 【解答】 （ 1） ① 解：如圖 1， ∵ 把 △ ABE 繞點 A 逆時針旋轉 90176。至 △ ADG，使 AB 與 AD 重合， ∴ AE=AG， ∠ BAE=∠ DAG， BE=DG， ∵∠ BAD=90176。， ∠ EAF=45176。， ∴∠ BAE+∠ DAF=45176。， ∴∠ DAG+∠ DAF=45176。， 即 ∠ EAF=∠ GAF=45176。， 在 △ EAF 和 △ GAF 中 ∴△ EAF≌△ GAF（ SAS）， ∴ EF=GF， ∵ BE=DG， ∴ EF=GF=BE+DF； ② 解： ∠ B+∠ D=180176。， 理由是： 把 △ ABE 繞 A 點旋轉到 △ ADG，使 AB 和 AD 重合， 則 AE=AG， ∠ B=∠ ADG， ∠ BAE=∠ DAG， ∵∠ B+∠ ADC=180176。， ∴∠ ADC+∠ ADG=180176。， ∴ C、 D、 G 在一條直線上， 第 22 頁（共 43 頁） 和 ① 知求法類似， ∠ EAF=∠ GAF=45176。， 在 △ EAF 和 △ GAF 中 ∴△ EAF≌△ GAF（ SAS）， ∴ EF=GF， ∵ BE=DG， ∴ EF=GF=BE+DF； 故答案為： ∠ B+∠ D=180176。； （ 2）解： ∵△ ABC 中， AB=AC=2 ， ∠ BAC=90176。， ∴∠ ABC=∠ C=45176。，由勾股定理得： BC= = =4， 把 △ AEC 繞 A 點旋轉到 △ AFB，使 AB 和 AC 重合，連接 DF． 則 AF=AE， ∠ FBA=∠ C=45176。， ∠ BAF=∠ CAE， ∵∠ DAE=45176。， ∴∠ FAD=∠ FAB+∠ BAD=∠ CAE+∠ BAD=∠ BAC﹣ ∠ DAE=90176。﹣ 45176。=45176。， ∴∠ FAD=∠ DAE=45176。， 在 △ FAD 和 △ EAD 中 ∴△ FAD≌△ EAD， ∴ DF=DE， 設 DE=x，則 DF=x， ∵ BC=1， 第 23 頁（共 43 頁） ∴ BF=CE=4﹣ 1﹣ x=3﹣ x， ∵∠ FBA=45176。， ∠ ABC=45176。， ∴∠ FBD=90176。， 由勾股定理得： DF2=BF2+BD2， x2=（ 3﹣ x） 2+12， 解得： x= ， 即 DE= ． 24．如圖，在直角坐標系中，點 A 的坐標為（﹣ 2， 0）， OB=OA，且 ∠ AOB=120176。． （ 1）求經(jīng)過 A， O， B 三點的拋物線的解析式． （ 2）在（ 1）中拋物線的對稱軸上是否存在點 C，使 △ BOC 的周長最?。咳舸嬖?，求出點 C 的坐標；若不存在，請說明理由． （ 3）若點 M 為拋物線上一點，點 N 為對稱軸上一點，是否存在點 M， N 使得 A，O， M， N 構成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）先確定出點 B 坐標，再用待定系數(shù)法即可； （ 2）先判斷出使 △ BOC 的周長最小的點 C 的位置，再求解即可； （ 3）分 OA 為對角線和為邊兩種情況進行討論計算． 【解答】 解：（ 1）過點 B 作 BD⊥ x 軸于點 D，由已知可得： OB=OA=2， ∠ BOD=60176。， 在 Rt△ OBD 中， ∠ ODB=90176。， ∠ OBD=30176。 ∴ OD=1， DB= ∴ 點 B 的坐標是（ 1， ）． 設所求拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c， 第 24 頁（共 43 頁） 由已知可得： ， 解得： ∴ 所求拋物線解析式為 y= ． （ 2）存在， ∵△ BOC 的周長 =OB+BC+CO， 又 ∵ OB=2 ∴ 要使 △ BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小， ∵ 點 O 和點 A 關于對稱軸對稱 ∴ 連接 AB 與對稱軸的交點即為點 C， 且有 OC=OA 此時 △ BOC 的周長 =OB+BC+CO=OB+BC+AC； 點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點 設直線 AB 的解析式為 y=kx+b， 將點 A（﹣ 2， 0）， B（ 1， ）分別代入，得： ， 解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為 y= x+ 當 x=﹣ 1 時， y= ， ∴ 所求點 C 的坐標為（﹣ 1， ）； （ 3）如圖， 第 25 頁（共 43 頁） ① 當以 OA 為對角線時， OA 與 MN 互相垂直且平分 ∴ 點 M（﹣ 1，﹣ ）， ② 當以 OA 為邊時 OA=MN 且 OA∥ MN 即 MN=2， MN∥ x 軸 設 N（﹣ 1， t） 則 M（﹣ 3， t）或（ 1， t） 將 M 點坐標代入 y= ． ∴ t= ∴ M（﹣ 3， ）或（ 1， ） 綜上：點 M 的坐標為： M（﹣ 1，﹣ ）或（﹣ 3， ）或（ 1， ）． XX 中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．（ x+1） 2﹣ 1=x2+4 B． ax2+bx+c=0（ a， b， c 是常數(shù)） C．（ x﹣ 1）（ x+2） =0 D． = 2．已知 ，則 的值為（ ）