【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 212103121)(3)(2)132()(??????????????? YEXEYXEZE 242294914)(9)(4)132()(?????????????? YDXDYXDZD 22. 設(shè)隨機(jī)變量 1X 服從參數(shù)為 21?? 的指數(shù) 分布，隨機(jī)變量 2X 的 概率密度函數(shù) ???????? ?.0,0,0,)( 2xxcxexf x 試求：（ 1） )( 1XE 和 )( 1XD ； （ 2）通過(guò) )( 1XE 和 )( 1XD 計(jì)算 c 和 )( 2XE 的值 ． 解： （ 1） 4)(,2)( 11 ?? XDXE （ 2） 1)( ??????dxxf? ，即 12 ??????? dxcxe x? 又 2)(21 10 2 ????? ? XEdxex x? 1)(2 1 ?? XcE 41??c ? ?4)44(21)()(21)(21212141)(12121022022????????? ???? ??? ?XEXDXEdxexdxxexXExx 18 23. 設(shè) )2,1(~ NX ， Y 服從參數(shù)為 3 的 Poisson分布，且 X 與 Y 獨(dú)立，求 )(XYD . 解： )()()()()()( 222222 YEXEYXEXYEXYEXYD ????? 又 ? ?????????? dx dyyxfyxYXE ),()( 2222? )()()()( 2222 YEXEdyyfydxxfx YX ??? ?? ???????? )()()()()( 2222 YEXEYEXEXYD ??? 27133232)()()()()()()()()]()()][()([22222222??????????????XEYDYEXDYDXDYEXEYEYDXEXD ),(~ pnBX ，且 3)( ?XE ， 2)( ?XD ，試求 X 的全部可能取值，并計(jì)算 )8( ?XP . 解： )1()()( pnpXDnpXE ???? ??? ???? 2)1( 3pnp np 即 ????? ??319pn X? 的取值為： 9,2,1,0 ? 9)31(1)9(1)8( ?????? XPXP ，其值均勻分布在區(qū)間 ],[ ba 上，試求球的體積 19 的數(shù)學(xué)期望 ． 解： 33 61)2(34 DDV ?? ??? ))((24161)(61)( 2233 babadxabxDEVE ba??????? ? ??? X 的概率密度 ??? ????? ,0 ,10,)( 2 其他 xcbxaxxf 且 )( ?XE ， )( ?XD ，求系數(shù) cba , . 解： 因?yàn)? ??????????????????????21022102102)()(1)(dxcbxaxxdxcbxaxxdxcbxax 31212 ????? cba 解： X 與 Y 相互獨(dú)立，其 概率密度分別為 ??? ??? 其他，,0 ,10,2)( xxxf X ??? ?? ?? .,0 5,)( )5( 其他 ，yeyf yY 求 )(XYE . 解： 20 ? ? 41532322)()()(5)5(5)5(1035)5(102???????????????????????????????????????????????dyeyexdyyedxxYEXEXYEyyy X 在區(qū)間 ]2,1[? 上服從均勻分布，隨機(jī)變量 ??????????.01,00,01XXXY，， 求方差 )(YD . 解： 因?yàn)? ????? ????其它,021,31)( xxf 于是 , 32)0()1( ???? XPYP ， 31)0()1( ????? XPYP ，0)0()0( ???? XPYP 310031)1(321)( ????????? YE 10031)1(321)( 2222 ????????YE 98)()()( 22 ??? YEYEYD )1,0(~ NXi ， 3,2,1?i ，且 iX 相互獨(dú)立 ，令 ???3131i iXX，?? ?? 31 2)(i i XXY ，求 )(YE . 解： 21 ?????? ?? ??3 1 2)()( i i XXEYE? ， 0)( ?XE ， 31)( ?XD ?????? ???? ??3 1 22 )2()( i ii XXXXEYE 2)(3)(3)]()([3)]()([)(3)(3231231223122??????????????? ????????XDXDXEXDXEXDXEXEXXEiiiiiii ，送 25名乘客到 9個(gè)站，假設(shè)每個(gè)乘客都等可能地在任一車站下車，并且他們下車與否 相互獨(dú)立 ． 又知交通車只在有人下車時(shí)才停車 ． 求該交通車停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ． 解： 令 ?X “交通車停車次數(shù)” 記 9,2,1,0 ,1 ?????? iiX i 否則個(gè)車站有旅客下車在第 則 921 XXXX ???? ? 依題意，任一旅客在第 i 個(gè)車站不下車的概率為 98 ，又旅客下車與否是彼此獨(dú)立的，因此 25名旅客在第 i 個(gè)車站都不下車的概率為 25)98( ， 即 2525 )98(1)1()98()0( ?????ii XPXP 9,2,1,)98(1)( 25 ???? iXEi 所以 )()( 921 XXXEXE ???? ? 22 ])98(1[9 25??? . 習(xí)題 （ B） 1. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 }{ DXXP ? =_______. 解： 因 X 服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，故21DX ?? 11/1{ } { } xP X D X P X e d x e???? ?? ??? ? ? ? ?? 2．?dāng)S一顆骰子 1620次，則“六點(diǎn)”出現(xiàn)的次數(shù) X 的期望和方差為多少？ 解： 因每次出現(xiàn)六點(diǎn)的可能性為 1/6，若令 10iiX i?? ??第 次 出 現(xiàn) 六 點(diǎn)第 次 未 出 現(xiàn) 六 點(diǎn) 則 16201 iiXX???， ~ (1620 ,1 / 6)XB 故 1 1 51 6 2 0 2 7 0 , 1 6 2 0 2 2 56 6 6E X D X? ? ? ? ? ? ? 3. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ? ?2 )()( ????? xxxF ，其中 )(x?為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，求 ).(XE 解： ? ?12 1( ) ( ) 0 . 3 ( ) 0 . 7 . 2xf x F x x?? ??? ? ? 所以 ? ?12 1( ) ( ) . 2 0 ( 2 0 1 ) xE X x f x dx x x dx x dx??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? Q ， Q 的可能取值為 1， 2， 3， 4， 5（等可能取各值），生產(chǎn)每件產(chǎn)品成本是 31?c 元，每件產(chǎn)品售價(jià) 92?c 元，沒(méi)有售出的 23 產(chǎn)品以每件 13?c 元的費(fèi)用存入倉(cāng)庫(kù) ． 問(wèn)生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品可使所期望的利潤(rùn)最大？ 解： 設(shè)每周的產(chǎn)量為 N ，顯然 5?N ，每周利潤(rùn) 212 1 3( ) , ,( , )( ) , ,6 , ,10 4 , .c c N Q NL Q Nc Q c N c N Q Q NN Q NQ N Q N????? ? ? ? ?????? ??? 5511( , ) 6 ( , ) ( 1 0 4 ) ( , )iiE L Q N N P Q i i N Q N P Q i i N??? ? ? ? ? ? ??? 因?yàn)?1( ) ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )5P Q i i? ? ? 分別計(jì)算可得： 當(dāng) 1N? 時(shí)， ( ,1) 6EL Q ? 當(dāng) 1N? 時(shí)， ( ,2) 10EL Q ? 當(dāng) 1N? 時(shí)， ( ,3) 12EL Q ? 當(dāng) 1N? 時(shí)， ( ,4) 12EL Q ? 當(dāng) 1N? 時(shí)， ( ,5) 10EL Q ? 故當(dāng) 生產(chǎn)者每周生產(chǎn) 3 或 4 件產(chǎn)品可使所期望 的利潤(rùn)最大。 A 發(fā)生的概率為 ，利用切比雪夫不等式估計(jì)， 在 1000 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù)在 600~400 之間的概率 ． 解： 設(shè) 10i iX i?? ?? 第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 A 發(fā) 生第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 A 未 發(fā) 生 則 ( 1) ( ) X P A? ? ?，令 10001 iiXX??? 則 ~ (1000 , )XB 10 00 0. 5 50 0 , 10 00 0. 5 0. 5 25 0E X D X? ? ? ? ? ? ? 利用 切比雪夫不等式得： 2( 4 0 0 6 0 0 ) ( | 5 0 0 | 1 0 0 ) 1 0 . 9 7 5100DXP X P X? ? ? ? ? ? ? ? ，有兩種類型的題目： A 類為歷史題， B 類為地理 24 題 ． 競(jìng)猜者可以自己選擇順序，只有猜對(duì)了第一題后猜才有權(quán)猜第二題 ． 猜對(duì)A 類題得 a 分，猜對(duì) B 類題得 b 分 ． 現(xiàn)假定某人猜對(duì) A 類題和 B 類題的概率分別為 p 和 q，且此事件是獨(dú)立的 ． 試問(wèn)他應(yīng)當(dāng)先猜哪類題，可使他的期望得分最高？ 解： 若先猜 A ，則得分的分布為 A 0 ab? 0a? P p?1 pq (1 )pq? 故對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為 ( ) (1 )EA a b pq ap q? ? ? ? 若先猜 B ，則得分的分布為 B 0 ab? 0b? P 1q? pq (1 )qp? 故對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為 ( ) (1 )EB a b pq bq p? ? ? ?，兩者第一項(xiàng)相同。 故比較 ,EAEB 兩者 大小關(guān)鍵看 (1 ) (1 )ap q bq p??和 所以若 (1 ) (1 )ap q bq p? ? ?，則應(yīng)先猜 A 類題，否則先猜 B 類題。 7． 假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間 X 服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間（ )(XE ）為 5小時(shí) ． 設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī) ． 而在無(wú)故障的情況下工作 2小時(shí)便關(guān)機(jī) ． 試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間 Y 的分布函數(shù) ).(yF 解： 因?yàn)?X 服從指數(shù)分布，且 ( ) 5EX? ，故 115, 5EX ??? ? ? 由題意，當(dāng) 02y??時(shí) 1 1 25 5 5 502( ) ( ) ( , 0 2) ( , 2)( , 0 ) ( 2 , 2)( | 0 ) ( 0 ) ( 2 | 2) ( 2)11 155y yxxF y P Y y P Y y X P Y y XP Y y X y P Y XP Y y X y P X y P Y X P Xe dx e dx e e??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 當(dāng) 0y? 時(shí)， ( ) 0Fy? 當(dāng) 2y? 時(shí)， ( ) 1Fy? 8. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 25 ?????? .,0 ,0,c os)( 221 其他 ?xxf x 對(duì) X 獨(dú)立地重復(fù)觀測(cè) 4次，用 Y 表示觀測(cè)值大于 3? 的次數(shù)，求 2Y 的數(shù)學(xué)期望 ． 解：311( ) c os( )3 2 2 2xP X dx???? ? ?? 故 1~ (4, )2YB 從而 1 1 14 2