【正文】 通過兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系從兩點(diǎn)分布得到二項(xiàng)分布的數(shù)字特征。 二、問題搜索 第 隨機(jī) 變 量 的數(shù)字特征 ？ 讀者的問題： 第 隨機(jī)向量的數(shù)字特征 ？ ？ 讀者的問題： 第 節(jié) 大數(shù)定律與中心極限定理 ？ ？ 讀者的問題： 整理、歸納和提升 3 一、知識整理 本章（ 數(shù)字特征 ）學(xué)習(xí)的知識 類型 離散型 連續(xù)型 數(shù) 學(xué) 期 望 的 定 義 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為： kk pxXP ?? )( ),2,1( ?? 如果級數(shù) ???1k kkpx絕對收斂，則稱 ???1k kkpx為 X 的 數(shù)學(xué)期望 ，簡稱 期望 或 均值 ，記作 )(XE 或 EX ，即)(XE =???1k kkpx. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為)(xf ，如果廣義積分 ????? dxxxf )( 絕對收斂，則稱 ????? dxxxf )(為 X 的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作 )(XE ，即)(XE =????? dxxxf )( 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì) 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)： 如果 C 是一個常數(shù)，則 CCE ?)( ； 如果 X 是隨機(jī)變量， ba, 是常數(shù)，則 bXaEbaXE ??? )()( ； 如果 ),( YX 是二維隨機(jī)向量，則 )()()( YEXEYXE ??? （推廣： )(. ..)()(). ..( 2121 nn XEXEXEXXXE ?????? 如果 ),( YX 是二維隨機(jī)向量，且 X 和 Y 相互獨(dú)立，則 )()()( YEXEYXE ??? . （推廣：當(dāng) nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立時，類似有 )()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ??????? ?? ） . 方 差 定 義 設(shè) X 是隨機(jī)變量，期望 )(XE 存在，如果 2)]([ XEXE ? 存在，則 2)]([ XEXE ? 稱為 X 的 方差 ，記作 )(XD ，即 )(XD = 2)]([ XEXE ? .而 )(XD 稱為 X 的 標(biāo)準(zhǔn)差 。 ④ 了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律）。 ② 會求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 2. 考研大綱解讀 （ 2022版） （ 1） 考試內(nèi)容 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)，隨機(jī)變量 函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，切比雪夫（ Chebyshew）不等式，矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì) 。知道二維正態(tài)分布中五個參數(shù)的概率意義。 掌握協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。 ② 求隨機(jī)變量函數(shù)的期望（或 求隨機(jī)向量函數(shù)的期望），不必求隨機(jī)變量函數(shù)的分布，可用定理給出的結(jié)果直接求。記住六種常用分布的期望和方差。 Lindeberglevy定理和 De MoivreLaplace定理 。 1 第 4章 隨機(jī)向量 的數(shù)字特征 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)引 一、大綱解讀 1．教學(xué)大綱解讀 （ 1）教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)期望的概念及性質(zhì)， 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望及應(yīng)用，方差的定義及性質(zhì)，常用分布的數(shù)學(xué)期望及方差的求法，切比雪夫不等式。協(xié)方差的定義及性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì)。 （ 2）教學(xué)要求 ① 會求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，熟悉均值和方差的性質(zhì)。記住切 比雪夫 不等式。 ③ 理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，會求協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 。 ④ 清楚獨(dú)立必不相關(guān)而不相關(guān)未必獨(dú)立。 ⑤ 掌握 Lindeberglevy 定理和 De MoivreLaplace 定理，并用以解決實(shí)際問題。 切比雪夫大數(shù)定律，伯努利（ Bernoulli）大數(shù)定律，辛欽（ Khinchine）大數(shù)定律，棣莫弗 — 拉普拉斯（ De MoivreLaplace）定理，列維 — 林德伯格（ LevyLindberg）定理 2 （ 2） 考試要求 ① 理解隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運(yùn)用數(shù)字特征的基本性質(zhì)，并掌握常用分布的數(shù)字特征。 ③ 了解切比雪夫不等式。 ⑤ 了解棣莫弗 — 拉普拉斯中心極限定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布）、列維 — 林德伯格中心極限定理（獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理），并會用相關(guān)定理近似計算有關(guān)隨機(jī)事件的概率。 常用簡易公式 )()()( 22 XEXEXD ?? . 方差計算 如果 X 是離散型隨機(jī)變量其概率分布為： kk pxXP ?? )( ),2,1( ??k 那么 ??? ?? 1 2)]([)( k kk pXExXD 如果 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為)(xf ，那么 ????? ?? dxxfXExXD )()]([)( 2 進(jìn)入本章學(xué)習(xí)應(yīng)具備的知識 1． 隨機(jī)變量的分布 ； 2． 二重積分及級數(shù)求和 4 方 差 的 性 質(zhì) 如果 C 是一個常數(shù)，則 0)( ?CD ； 如果 C 是一個常數(shù)，則 )()( XDCXD ?? ； 如果 a 是一個常數(shù)，則 )()( 2 XDaaXD ? ； 設(shè) X 和 Y 相互獨(dú)立，則 )()()( YDXDYXD ??? 推論：如果 nXXX , 21 ? 相互獨(dú)立， ic ),2,1( ni ?? 是任意常數(shù)，那么 )(1 21 ini iini i XDcXcD ?? ?? ??????? . 函數(shù) 2)()( xXExg ?? 當(dāng) EXx? 時，取最小值 DX 。 6 停下來想一想： 總結(jié)五種常用重要分布的均值公式： .)(),(~,)(),(~,)(],[~,)(),(~,)(),(~212?????????????XENXXEEXXEbaUXXEPXnpXEpnBXba 解惑 ： 一般 常用分布的數(shù)字特征當(dāng)作已知結(jié)論，可直接使用結(jié)果而無需證明。 停下來想一想： 公式 222 )]([)())(( XEXEXEXE ??? 以后經(jīng)常要使用到！ 解惑 ： 當(dāng)進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算時右邊的運(yùn)算量通常會比左邊的運(yùn)算量小。 習(xí)題 （ A） 1．一箱產(chǎn)品 20 件，其中 5件優(yōu)質(zhì)品，每次抽取 1件 ，共抽取 2次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望 和方差 （分兩種情況討論： ① 有放回地抽??；② 不放回地抽?。?． 解： （ 1） X 的概率分布為 X 0 1 2 P 169 166 161 所以 21161216611690)( ???????XE （ 2） X 的概率分布為 X 0 1 2 P 3821 3815 8 382 所以 2138223815138210)( ???????XE 2. 已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中僅裝有 3件合格品 . 從甲箱中任取 3件產(chǎn)品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望； (2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 . 解： （ 2）設(shè) ( 1,2,3)iBi? 分別為乙箱中有 i 件次品， C 為在乙箱中任抽一件為次品，則由（ 1）得1 2 391( ) ( ) , ( )2 0 2 0P B P B P B? ? ? 由全概率公式得 1113 3121 1 11 6 6 69 9 1 1( ) ( | ) ( ) . . .2 0 2 0 2 0 4iii CCCP C P C B P B C C C?? ? ? ? ?? X 的概率分布為： X 4 6 3x P a 且 8)( ?XE ，求 3x 和 a 的值 ． 解： 顯然 , ????? aa 又 33 ???????? xx? 4. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為 ),3,2,1,0(,)( ! ???? kkXP kC ，求)( 2XE . 解： 由00( ) ( ) . 1!kkCP C P X k C ek? ? ? ???? ? ? ? ???得： 1/Ce? 9 22 1 1011111211( ) .! ( 1 ) !11[]( 1 ) ! ( 1 ) !11[]( 2) ! ( 1 ) ![]2kkkkkkkkE X e ekkkekkekke e e? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ?????????????????????????? 5. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，求 ))(( 2XEXP ? . 解： 由 X 服從參數(shù)為 1 的泊松分布，故 1EX DX?? 所以 22( ) 1 1 2E X E X D X? ? ? ? ? 所以 22 1 11( ( ) ) ( 2 ) / 22!P X E X P X e e??? ? ? ? ? 6. 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的合格率為 ，不合格產(chǎn)品中只有 43 的產(chǎn)品可進(jìn)行再加工，且再加工的合格率為 ，其余均為廢品 . 已知每件合格品可獲利80 元，每件廢品虧損 20元，為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于 2 萬元，問該企業(yè)每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品？ 解： 設(shè)至少生產(chǎn) X 件，則企業(yè)利潤為 [ ( 0 . 9 6 3 / 4 0 . 8 0 . 0 4 ) 8 0 [ 3 / 4 0 . 2 0 . 0 4 0 . 0 4 1 / 4 ] ( 2 0 ) ]20220LX? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 解得 ? 即該企業(yè)每天至少應(yīng)生產(chǎn) 226件。 （ 3）試比較該同學(xué)選擇都在 B 處投籃得分超過 3 分與選擇上述方式投籃得分超過 3分的概率的大小 ． 11 解： （ 1） 設(shè) ( 1,2,3)iAi? 表第 i 次投籃命中，顯然 iA 相互獨(dú)立 由于 ( 0) ?? 故 21 2 3 1 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 .2 5 ) ( 1 ) 0 .0 3P A A A P A P A P A q? ? ? ? ? 解得 2 ? （ 2） ( 0) ?? 4 4 4 4( 2 ) ( 1 0 . 2 5 ) ( 1 ) ( 1 0 . 2 5 ) ( 1 ) 0 . 2 45 5 5 5PX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( 3 ) ? ? ? ? 2( 4) (1 ) ? ? ? ? ? ( 5 ) 0. 25 0. 8 0. 25 0. 2 0. 8 0. 24PX ? ? ? ? ? ? ? 故 0 2 4 3 1 4 8 5 4 3EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 3）上述投籃方式得分超過 3分的概率為 5 5 4? ? ? ? ? 都在 B處投籃得分超過 3分 的概率為 2221 2 1 2 3 1 2 3 4 1 4 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8 9 65 5 5 5 5P B B P B B B P B B B? ? ? ? ? ? ? ? 10. 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝 3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前 2局中，甲、乙各勝 1局 ． （ 1）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （ 2）設(shè) X 表示從第 3 局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求 X 得分布列及數(shù)學(xué)期望 ． 解： （ 1）設(shè) ,iiAB分別表示第 i 局甲乙勝，則在前兩局中甲乙各勝 1 局的已知情況下，誰先獲勝兩局即勝出。 A 發(fā)生的概率為 ，利用切比雪夫不等式估計， 在 1000 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù)在 600~400 之間的概率 ． 解： 設(shè) 10i iX i?? ?? 第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 A 發(fā) 生第 次 試 驗(yàn) 中 事 件 A 未 發(fā) 生 則 ( 1) ( ) X P A? ? ?，令 10001 iiXX??? 則 ~ (1000 , )XB 10 00 0. 5 50 0 , 10 00 0. 5 0. 5 25 0E X D X? ? ? ? ? ? ? 利用 切比雪夫不等式得： 2( 4 0 0 6 0 0 ) ( | 5 0 0 | 1 0 0 ) 1 0 . 9 7 5100DXP X P X? ? ? ? ? ? ? ? ，有