高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第六章62等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和(編輯修改稿)
2025-02-04 13:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 差數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，若 a 1 0 ， S 2 0 0 9 ＝ 0. ( 1) 求 S n 的最小值及此時(shí) n 的值； ( 2) 求 n 的取值集合，使 a n ≥ S n . 變式訓(xùn)練 3解 方法一 ( 1 ) 設(shè)公差為 d ，則由 S 2 009 ＝ 0 ? 2 009 a 1 ＋2 009 2 0082d ＝ 0 ? a 1 ＋ 1 004 d ＝ 0 ， d ＝－11 004a 1 ， a 1 ＋ a n ＝2 009 － n1 004a 1 ， ∴ S n ＝n2( a 1 ＋ a n ) ＝n22 009 － n1 004a 1 ＝a 12 008( 2 009 n － n2) ． 主頁 ∵ a 1 0 ， n ∈ N * ， ∴ 當(dāng) n ＝ 1 0 04 或 1 0 05 時(shí)， S n 取最小值1 0 052 a 1 . ( 2) a n ＝1 0 05 － n1 0 04 a 1 ， S n ≤ a n ?a 12 0 08 ( 2 0 09 n － n2 ) ≤ 1 0 05 － n1 0 04 a 1 . ∵ a 1 0 ， ∴ n 2 － 2 01 1 n ＋ 2 01 0 ≤ 0 ，即 ( n － 1) ( n － 2 01 0) ≤ 0 ， 解得： 1 ≤ n ≤ 2 01 0. 故所求 n 的取值集合為 { n |1 ≤ n ≤ 2 010 ， n ∈ N * } ． 主頁 方法二 ( 1) 設(shè)公差為 d ，則 S n ＝ na 1 ＋n ? n － 1 ?2d ＝d2n 2 ＋??????a 1 －d2 n ， ∵ d2， a 1 －d2是常數(shù)， ∴ S n 是 n 的二次函數(shù) ( d ≠ 0 時(shí) ) ． ∵ S 2 0 0 9 ＝ 0 ， S 0 ＝ 0 ， ∴ 頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0 ＋ 2 00 92＝ 1 00 412. 又由 a 1 0 ， S 2 0 0 9 ＝ 0 ? d ＝－a 11 00 4 0 ，又 n ∈ N* . 故當(dāng) n ＝ 1 00 4 或 1 00 5 時(shí)， S n 取最小值 S 1 0 0 4 ＝1 00 52 a 1 . 主頁 ( 2) a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ dn ＋ ( a 1 － d ) ， ∵ d 0 ， d 和 a 1 － d 均為常數(shù)， ∴ a n 是 n 的一次函數(shù)． 又由 S 2 0 0 9 ＝ 0 ? a 2 0 1 0 ＋ S 2 0 0 9 ＝ a 2 0 1 0 ，即 S 2 0 1 0 ＝ a 2 0 1 0 . 由圖可知， a n ≥ S n 的解集為 { n |1 ≤ n ≤ 2 010 ， n ∈ N * } ． 故方程 S n ＝ a n 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 n ＝ 1 和 n ＝ 2 0 10 . 主頁 ( 14 分 ) 設(shè)等差數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和 S n ＝ m ，前 m 項(xiàng)和 S m ＝ n ( m ≠ n ) ，求它的前 m ＋ n 項(xiàng)的和 S m ＋ n . 思想與方法整體思想在等差數(shù)列解題中的應(yīng)用 (1) Sm ＋ n ＝ a 1 ( m ＋ n ) ＋? m ＋ n － 1 ?? m ＋ n ?2d ＝ ( m ＋ n )????????a 1 ＋m ＋ n － 12d ， 這樣只要求出 a 1 ＋m ＋ n － 12d 即可． (2) 由 S n ， S m 可以構(gòu)造出 a 1 ＋m ＋ n － 12d ，并求出． 審題視角主頁 規(guī)范解答 解 方法一 設(shè) { an} 的公差為 d ， 則由 Sn＝ m ， Sm＝ n ， 得??????? Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝ m ， ①Sm＝ ma1＋m ? m － 1 ?2d ＝ n . ② [4 分 ] ② － ① 得 ( m － n ) a 1 ＋? m － n ?? m ＋ n － 1 ?2 d ＝ n － m ， ∵ m ≠ n ， ∴ a 1 ＋m ＋ n － 12 d ＝－ 1. [ 10 分 ] ∴ S m ＋ n ＝ ( m ＋ n ) a 1 ＋? m ＋ n ?? m ＋ n － 1 ?2 d ＝ ( m ＋ n )????????a 1 ＋m ＋ n － 12 d＝－ ( m ＋ n ) ． [ 14 分 ] 主頁 方法二 設(shè) S n ＝ An2＋ Bn ( n ∈ N*) ， 則????? Am2＋ Bm ＝ n ， ③An2＋ Bn ＝ m . ④ [4 分 ] ③ － ④ 得 A ( m 2 － n 2 ) ＋ B ( m － n ) ＝ n － m . [8 分 ] ∵ m ≠ n ， ∴ A ( m ＋ n ) ＋ B ＝－ 1 ， ∴ A ( m ＋ n ) 2 ＋ B ( m ＋ n ) ＝－ ( m ＋ n ) ， ∴ S m ＋ n ＝－ ( m ＋ n ) ． [ 14 分 ] 主頁 批閱筆記( 1) 本題的兩種解法都突出了整體思想，其中方法一把 a1＋m ＋ n － 12d 看成了一個(gè)整體，方法二把 A ( m ＋ n ) ＋ B 看成了一個(gè)整體，解起來都很方便． ( 2) 整體思想是一種重要的解題方法和技巧．這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征． ( 3) 本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，不能正確運(yùn)用整體思想的運(yùn)算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯(cuò)誤． 主頁 1 ．等 差數(shù)列的判斷方法有 ( 1 ) 定義法： an ＋ 1－ an＝ d ( d 是常數(shù) ) ? { an} 是等差數(shù) 列． ( 2 ) 等差中項(xiàng)法： 2 an ＋ 1＝ an＋ an ＋ 2 ( n ∈ N*) ? { an} 是等差 數(shù) 列． ( 3 ) 通項(xiàng)公式： an＝ pn ＋ q ( p ， q 為常數(shù) ) ? { an} 是等差數(shù) 列． ( 4 ) 前 n 項(xiàng)和公式： Sn＝ An2＋ Bn ( A 、 B 為常數(shù) ) ? { an} 是等差 數(shù) 列． 2 ．方 程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考 慮化歸為 a1和 d 等基本量， 通過建立方程 ( 組 ) 獲得 解． 方法與技巧主頁 1 ． 如 果 p ＋ q ＝ r ＋ s ，則 a p ＋ a q ＝ a r ＋ a s ，一般地， a p ＋ a q ≠ a p ＋ q ， 必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然可以是 a p － t＋ a p ＋ t＝ 2 a p . 2 ．當(dāng) 公差 d ≠ 0 時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是 n 的一次函數(shù)，當(dāng)公差 d ＝ 0 時(shí)， a n 為常 數(shù)． 3 ．公 差不為 0 的等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是 n 的二次函數(shù)，且常 數(shù)項(xiàng)為 0. 若某數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為 0 的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù) 列． 失誤與防范主頁 1．定義： 2． 通項(xiàng)公式： {} na ?成 等 差 數(shù) 列1 ( 1 )na a n d? ? ?1nnaa? ?? 常 數(shù)21()22nddS n a n? ? ?
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