【文章內(nèi)容簡介】 ??? ?? 因為初條件是任意的，從等式兩邊將其刪去，即得算符方程： ? ? ? ? ? ?Uti H t U tt? ?? ， ? ?0UI? 或 ? ? ? ? ? ?1Uti U t H tt ?? ?? （ ） 考慮到算符 ??Ut已取為正規(guī)乘積形式，因此可將時間導(dǎo)數(shù)運算 t?? 直接送入 ??Ut的正規(guī)乘積號之內(nèi)，按普通求導(dǎo)方式計算。將 ??Ut的表達式代入此算符方程，并注意變換關(guān)系式及 1?? ????，即可得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?220 , 0 1 , 0 00 , 0 0 , 0 1t t tttt t ttt? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ???? ? ? ? ??????? （ ） 于是，對于給定的 ??t? 和所列的初條件，求解此四個系數(shù)函數(shù) ??t? ， 271 ??t? ， ??t? 和 ??t? 的微分方程，然后將它們代入 ??Ut表達式，即得到解為 ? ? ? ? ? ?0t U t??? 相應(yīng)的波函數(shù)為 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?22220,00112i p qp qi pxx t x t x U tx p d p p U q d q qd p q e e q???? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ??? ? ? ????????? （ ） 這里 ? ? ? ?0 0qq???是給定的初態(tài)波函數(shù)。利用積分公式 2iue du i????? ?? 不難算出這個對 p 的積分，最 后得到 ? ? ? ?2 20, ex p ex p22i x x qx t q q d qi i i????? ? ? ??????? ?????? ?????? ? （ ） 167。 時間相關(guān)微擾論與量子躍遷 1, 含時擾動及量子躍遷的概念 體系 的 Hamilton 量原來為 0H ， 自某一時刻（ t=0 ）起經(jīng)受一擾動 H? ， 總 Hamilton 量成為 0H = H + H? 。 這時可按 H? 與時間是否有關(guān)而區(qū) 分為兩種情況 ： 第一，若 H? 與時間無關(guān) ， 要么是個定態(tài)微擾論問題 ， 即定態(tài)波函數(shù)及其本征值的修正問題 ； 要么 屬于定態(tài)框架下的散射或躍遷問題 ， 這看 問題的提法及初態(tài)情況而定 。 與此相應(yīng) ， 作為展開基矢的本征函數(shù)族 ， 原則上既可選 0H 的也可以選擇 H 的 ， 但通常情況是 H 的本征函數(shù)族 難于求解 ， 只能采 用 0H 的 本征函數(shù)族 作為 展開基矢 。 第二，若 H? 與時間有關(guān) ， 則是個非定態(tài)問題 。體系 能量已不再 272 守恒 ， 狀態(tài)波函數(shù)的 概 率分布一般會 隨時間變化 。 此時只能選擇 0H 的本征函數(shù)族作為展開 基矢 。 這里應(yīng)當(dāng)注意的是 ， 用 0H 本征函數(shù)族? ? ? ?? ?0m 0i E t / h 0mm e , H m = E m對含時問題的未知態(tài) ??t? 展開時 ， 展開式系數(shù) 應(yīng)當(dāng) 與時間有關(guān) ， 是 “ 變系數(shù)展開 ” ： ? ? ? ?? ?00( ) , ( 0 )mmImmmt c t m 0 c mH m E m??? ????? ???? 于是 ? ? ? ?? ?? ? ? ?000///()( ) ( )mmi H t i E tmImi E tm It e t c t e mc t m t m t e??????? ????? ???? （ ） 從而 ，演化 到 t 時刻 ， 系統(tǒng)處于 m 態(tài)的概 率 為 22( ) ( ) ( )mmP t c t m t??? () 詳細些 說 就是 ， 體系在 0?t 時刻處于 初態(tài) ? ?ψ0 ，經(jīng) 受 H? 在（ t?0 ）時間段內(nèi) 擾動， 至 t 時刻 體系躍遷 到 0H 的 m 態(tài)的 量子躍遷概 率 。 2, 量子躍遷系數(shù)基本方程組及其一階近似 現(xiàn)在 ，根據(jù) 上面 變系數(shù)展開法 具體 地近似 計算 量子躍遷概率 。 由相互作用表象中態(tài)矢 ()It? 的方程 () ? ? ? ? ? ?t III01t = 0 + d η H( η )i? ? ? ??? 兩邊作用以 m ， 并在積分號下 ( ) ( )I IH ? ? ?? 中間插入 0H 的 完 備性關(guān)系l l l I??， 得 到 ? ? ? ? ? ?00t iH η / i H η /mm I0l 1c t = c 0 + d η m e H ( η )e l li ???? ? 為 便于一般性考慮 ，將剛加上擾動的時刻改記為 0t ，上式成為 273 ? ? ? ? ? ? ? ? ()ml0t i ω ηm m 0 lmltl1c t = c t + d η H η ec η , m = 0 , 1 , 2 , . . . . . .i ?? ? () 這里 ? ? ? ?? ?00ml m lω = E E， ? ? ? ?mlH η = m H η l??。這里 0t 既可以是有限值 ，也可以為 無限遠 的 過去 （ t=? ） 。 研究 ()式 一個特殊情況。 如果 0t 時刻體系處 在 0H 的一個本征態(tài) n 上 ， 在（ 0tt? ）時間段內(nèi) 經(jīng)受擾動 ??Ht? ， 到 t 時刻 的躍 遷系數(shù)方程組 為 0,1( ) ( ) ( ), ( 0 , 1 , 2 , . . . . . . )mlt im n m n m l l ntlc t d H e c mi ??? ? ? ??? ? ?? ? () 這里已經(jīng)將向 m 態(tài)的躍遷系數(shù)由 ??mct改記為 ??tc n,m ，以表示是由 n態(tài)出發(fā)的躍遷。 對于 發(fā)生 躍遷 (mn? )的 情況 ， 有 0,1( ) ( ) ( ), ( , 0 , 1 , 2 , . . . . . . )mlt im n m l l ntlc t d H e c m n mi ??? ? ??? ? ?? ? （ ） 相應(yīng)的躍遷概 率為 2,( ) | ( ) |mn m nP t c t? 如果體系初始時刻處于混態(tài) ? ?np , n{這里nn p =1?，即體系分別以np 的概率（而不是概 率幅）處于 n 態(tài)上 }， 則向 m 態(tài) (m? 全部 n )的躍遷概 率為 ? ? ? ?m n mnnP t = p P t? 積分方程組 ()式是研究量子躍遷問題的 基本方程組 。為具體求解 ， 假定 ??Ht? 含有一個可 以看作 小量的參數(shù) ， 于是就可以對這個方程組作逐階迭代近似 。 最簡單的一階近似是將方程組右邊積分號下的未知系數(shù) n,lc 代以零階近似 的 lnδ 。 由此即得方程組左邊躍遷系數(shù) 274 , ()mnct的 一階近似值 （ mn? ）1， ? ? ? ?mn0t iω η(1 )m n m nt1c t = d η Hei ??? （ ） 由此得知 ，只在 ? ?0t,t 區(qū)間內(nèi)有 ??Ht? 擾動，在 ? ?t,t0 以外都撤除 （ 當(dāng)然 ，前面已說過 ， 0t 、 t 也可以分別假定為 ?? 和 ?? )的情況下，從 0t 至 t 時刻系統(tǒng)自 n 態(tài)躍遷到 m 態(tài)的躍遷概 率為 ? ?mn02t iω ηmn 2 t1P t = d η m H ( η ) n e?? () （ ）式是一階近似下討論 ??Ht? 造成的量子躍遷問題的出發(fā)點 。注意 ， 只要積分區(qū)間比mn1ω 大很多 ， 積分上下限便可近似取為 ?? 。 由于 ??Ht? 在 ? ?0t,t 區(qū)間之外已撤除 ， 此處 富里葉積分在上下限處是收斂的 。 附帶指出 ， 這里的 ??mnPt表達式顯然滿足前面的普遍結(jié)論? ?0mnt= tdP t =0dt 。 167。 幾種常見含時微擾的一階近似計算 1, 常微擾 假定微擾 H? 與時間無關(guān)，并且 按 體系特征時間mn1ω 尺度衡量， H?是 在足夠長 時間 TT,22??????內(nèi)加在系統(tǒng)上 。 這時，按上面一階近似所得 1顯然，這里的敘述也可以應(yīng)用于 mn? 。 此時如假定 H? 與 t 無關(guān)而將積分積出 ， 由方程 ()得 (1) 1nn nnic H t???, 當(dāng) t 值夠大時，會出現(xiàn) (1) 2| ( )| 1nnct? 不合理情況。由這種分析可知 ， 此處 所做 近似應(yīng) 當(dāng) 要求 H? 對角矩陣元對時間的積分值很小 {雖然積分時間間隔 ? ?0tt? 比 1mn?大很多 }。 275 方程 ()， 單位時間內(nèi)體系從 n 態(tài) 躍遷 向 m 態(tài)的 概 率 (即躍遷速率 )為 ? ? mn 2T2 i ω tmn 2Tm n m n2TT 2PT 1p = lim = lim H e d tTT? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22m n m n m n m n22T 12 π= l i m H T 2 π δ ω =H δ ωT?? ???? 即 ? ? ? ?? ?2 00m n m n m n2 πp = H δ E E? () 這里 mnp （ 量綱為 1秒） 只涉及兩個單態(tài)之間的躍遷 。 其中 ? ? ? ?00mnδ(E E ) 表示能量守恒 ， 2mnH? 度量 H? 造成的 在態(tài) n 和 m 之間的躍遷 強度 。 出現(xiàn)能量 ? 函數(shù)說明 ， 這時所有 使 能量改變 的躍遷都是不可能的 。 若向連續(xù)態(tài)躍遷 (比如 ， 在靜電場擾動之下原子 電離 )， 設(shè)m m mE E + dE? 內(nèi)有態(tài)數(shù)目 mmρ(E )dE ， 其中 ? ?mρE 為 mE 附近單位能量間隔內(nèi)末態(tài)的態(tài)密度。 則單位時間內(nèi)向 mE 附近的連續(xù)末態(tài)躍遷的概 率 ? ?2mn m2πp = H ρ E? () 這個公式很有用，所以 Fermi 稱它為 “ 2 號黃金規(guī)則 1” 。 關(guān)于末態(tài)態(tài)密度 ? ?ρE 的計算，參見后面光電效應(yīng)中（ ）式的推導(dǎo)。 2, 周期微擾 設(shè)微擾呈周期變化 ， 即 ? ? ? ?iω t i ω tH t = W e + e? （ ） 這里 W 與 t 無關(guān) 。 于是 1 . 席夫，量子力學(xué)， 第 327 頁，人民教育出版社， 1982，李淑嫻，陳崇光譯。 276 ( 1 ) 22, 1( ) ( )m n m nTTi t i iimnm n m n Wc T H e d t e e e dii ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ??? 當(dāng) T 充分大時 ， ( 1 ), 2 [ ( ) ( )]mnm n m n m nWc i? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 由于 ω0 ， 方括號中第一個 δ 函數(shù) 表示 電子向下躍遷 并向擾動電磁場放出光子 ω ； 第二個 δ 函數(shù)表示電子從擾動電磁場吸收光子 ω并 向上躍遷。若假定是后者 ， 由 ? ? 21,lim mnmn TcpT??? ，即得單位時間內(nèi)由| n | m? 態(tài)的躍遷速率為 ? ? ? ?? ?2 00m n m n m n2 πp = W δ E E ω () 注意此結(jié)果和常微擾很相象 ， 只是 ? 函數(shù)中多了 ω 項 。 這表明 ， 周期變化的電磁場可以看作該頻率的一束光子 ， 量子躍遷系數(shù)的一階近似只考慮 （該頻率 ）光子的 單光子 吸收和 單光子 發(fā)射 。 就是說，對 真實 物理 過程作了單光子近似 。 167。 不撤除的微 擾 1, 不撤除微擾 的一般敘述 現(xiàn)在 考慮這一類微擾 ： ? ?H = 0? ? ， ? ?H + =? ? 有限 。 就是說 ， 在0H 上加上含時微擾 ???Ht之后就一直持續(xù)下去不再撤除 。 這當(dāng)然包括了在某個時刻突然加在體系 上并一直不變地持續(xù)下去的所謂 Sudden微擾這一特殊情況 。 這時 上 一 節(jié) 的 基本公式不適用 。 因為在 t??? 處 ()H??? 不為零 ，積分在