【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 散射點(diǎn)概率幅貢獻(xiàn)之和， 再疊 加 上 入射波 的 波幅，即為 r 點(diǎn)的總概率幅。 現(xiàn)在 任務(wù)是去求 出 kr?? 時(shí) 趨于 1ikrer 的 格林函數(shù) ()kG r r? ? 。 為此 ， 將 ()kG r r? ? 方程兩邊同乘以無(wú)奇點(diǎn)的正規(guī)算符 21()ki? ?? ? ?（ 0?? ） ， 得 3()230 1( ) l i m ( 2 )i k r rk dkG r r eki? ??????? ???? ? ? ? ? 247 () 32 2 30lim ( 2 )i k r re d kk k i? ??????? ?? ? ? ??? 由下面推導(dǎo)可知這里 i? 前應(yīng)取正號(hào)，才能滿足邊條件 1ikrer (kr?? ) (若取 i?? ， 將 給出另一種格林函數(shù)：它當(dāng) kr?? 時(shí)趨于漸近的入射球面波 1 ikrer ? )。 現(xiàn)在來(lái)計(jì)算這個(gè)積分 ， ()3 2 20 1( ) l i m ( 2 )i k r rk eG r r d kk k i? ???????????? ? ??? ? ?2 c o s3 2 20 041 l i m s i n( 2 ) rrikk d k e d dk k i ?? ? ????? ??? ?? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?2 2 20 011 lim( 2 )r r r ri k i krr ee k d ki k k i? ??????????? ?? ??? ? ??? ? ? ? ?2 2 201 lim4i k r rrr ke dki k k i????????? ?????? ?? ? ??? 現(xiàn)在可以將積分變數(shù) k? 延拓到復(fù)平面 ， 利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算這個(gè)積分 。 在 k? 為復(fù)數(shù)的平面上 ， 被積函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn) A 和 B，它們分別位于 22k k i???? ， 也即 ()2Ak k i?? ? ?? 、 ()2Bk k i?? ? ?? 這里只要求小量 0?? ， 它的數(shù)值并不重要 ， 因?yàn)榉e分完成之后要令它趨于零 。 在上半平面選取如圖的半園回路，考慮到在半園周 C 上積分隨半徑趨于無(wú)窮而趨于零，于是得到 2 01( ) lim ( 2 ) 24Ai k r rAk AkeG r r i ki r r ? ?????????? ? ?? ? ? ?? ?14ik r rerr?? ???? ? （ 10. 18） 顯然 ， 這個(gè)表達(dá)式滿足先前所說(shuō)的 ： 當(dāng) r?? 時(shí)趨于 ikrer 的邊條件 。 248 最后 得 到 勢(shì)散射理論中處 于中心位置的積分方程 , ? ???????????? rd)s,s,r(|)s,s,r(Urre|e)s,s,r(| rrikii kz???????????? ??212121 41 ???? () 方程 ()右邊第二項(xiàng)已經(jīng)滿足所設(shè)定的 r?? 的邊條件 ， 并且它代表出射球面波 。 方程 ()是一個(gè)積分方程 ， 它是下面 迭代法近似求解的出發(fā)點(diǎn) 。 2, 一階 Born 近似 當(dāng)勢(shì) 12( , , )V r s s 較弱 ， 或者它相當(dāng)局域 (即 12( , , )V r s s 顯著不為零的區(qū)域較小 )， 或者入射粒子能量足夠大等情況下 ， 上面積分方程的第二項(xiàng)在數(shù)值上將顯著小于第一項(xiàng)，即 i k r rikziee U r s s r s s d rrr 1 2 1 2( , , ) ( , , )???? ? ? ?????? (對(duì)任意 r 值 ) （ ） 因此在對(duì)積分方程（ ）求解時(shí)可 對(duì)其 作一級(jí) Born 近似 ： 將第二項(xiàng)積分號(hào)下的 12( , , )r s s? ? 代以它的零階近似 iikze ?? ；同時(shí)，由于rr??? ， 對(duì)格林函數(shù)中的分母 rr?? 取零階近似（即令其為 r ）、而對(duì)分子 ikr re ?? 中的位相應(yīng)取高一階近似（即一級(jí)近似）， 22 22 ( 1 ) rrrr r r r r r r r e rr ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 至此，為表示簡(jiǎn)潔引入兩個(gè)波矢記號(hào) ： 入射波波矢 0 zk ke? ， 散射波波矢 rk ke? 由于現(xiàn)在是固定勢(shì)場(chǎng)中的彈性散射 ， 兩個(gè)波矢的數(shù)值相同，僅 僅 方向 249 不同。 注意 zkz r k rke 0? ? ?? ? ? ?， 于是 有 ki k r r i k z i k r i k r i r i k r i q r q k k00 ,?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 這里 q 是 入射 粒子動(dòng)量的改變 ，由稱(chēng) 傳遞動(dòng)量 。 由圖可得 22 ?sinkq ? 在 一階 Born 近 似 —— 簡(jiǎn)稱(chēng) Born 近 似 下， )r(?? 的 漸近表達(dá)式 為 1 2 1 22( , , ) ( , , )2ikri k z i q riier s s e e V r s s d rr?? ? ?? ??? ???? ? （ ） 由此 ， 當(dāng) 用 f |?? 左乘 （ ） 或 （ ） 式來(lái)選定出射分道 ， 并利用 （ ） 式 ， 即知： 在 Born 近似 下 ，若選 定出射自旋態(tài)為 ?f|? ，散射振幅的表達(dá)式為 122( , ) | ( , , ) |2 i q rfi f if e V r s s d r?? ? ? ?? ??? ??? ? ? ?? () 這個(gè)公式和通常 無(wú)自旋散射振幅 表達(dá)式 的差別僅在于 ： 將被積函數(shù)中的相互作用勢(shì)換成它在自旋初態(tài)和自旋末態(tài)夾積下的矩陣元 。 如上所說(shuō)， 若 ?i|? 和 ?f|? 是耦合（無(wú)耦合）表象的兩個(gè)基矢，則相應(yīng)的 ? ?fi,f ?? 是某個(gè)分道的散射振幅 。注意， q 的模值只依賴(lài)于? (以及 k )， 但 出射 k 的方向 (因而 q )依賴(lài)于 ? 。 這個(gè)公式說(shuō)明 ： 一階Born 近似下， 散射振幅 ( , )fif ?? 正比于勢(shì)場(chǎng) 12( , , )V r s s 中相應(yīng)的富里葉分量 。 公式一般地表明了 ： i, 散射中，大動(dòng)量傳遞 (大 q 值 )的散射截面比較小 ， 因?yàn)榉e分號(hào)內(nèi)指數(shù)因子（當(dāng)變數(shù) r? 變化時(shí)）振蕩加劇導(dǎo)致積分?jǐn)?shù)值減小 ； ii, 對(duì)高能 (k 較大 )入射粒子 ， 若要 ( , )??? 不為零 ，要求 ? 較小 ， 如此才能避免被積函數(shù)的快速振蕩 ， 換句話說(shuō) ， 高能散射多集中于朝前方向 。 250 若 V 的空間函數(shù)為中心場(chǎng)， 1 2 1 2( , , ) ( , , )V r s s V r s s? ， 則 （ 10. 22）式積分中的角度部分可以事 先算出 ， 得到 中心場(chǎng)情況的公式 122 02( , ) ( ) ( , , ) s i n ( )fi fi f if f r V r s s q r d rq ???? ? ??? ? ? ? ? ? ?? () 以及 1202 2242 ( , , ) s i n ( )4( ) ( )fi fi f ir V r s s q r d rf q ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? () 這里 2 sin 2qk?? 。公式 表明 ， 入射粒子的動(dòng)量 k 和散射角 ? 都是通過(guò) q的數(shù)值進(jìn)入截面的 。 ※ 3, Born 近似適用條件分析 1 如前所說(shuō) ， 若要 Born 近似成立 ， 充要條件是基本積分方程 ()右邊第二項(xiàng)數(shù)值上要遠(yuǎn)小于第一項(xiàng) (對(duì)任意 r 值 )。 只有這樣 ， 對(duì)第二項(xiàng)才可以做前述 Born 近似 。 而若要這個(gè)積分項(xiàng)數(shù)值小 ， 需要下面三個(gè)條件中至少有一個(gè)成立 i . V i i . V i i i . . ,.?????若 很 弱若 不 很 弱 但 其 展 布 的 空 域 很 局 域入 射 粒 子 能 量 很 高 () 當(dāng)然 ， 聯(lián)合作用會(huì)使近似更好 。 這些結(jié)論是由于 ， 積分項(xiàng)的主要貢獻(xiàn)來(lái)自 12V r s s( , , ) 的不接近于零的基本區(qū)域 ， 如果這個(gè)區(qū)域相當(dāng)小 (和入射粒子波長(zhǎng) —— 即 1k —— 相比較 )， 也即勢(shì)12V r s s( , , ) 相當(dāng)局域 ， 這項(xiàng)積分的數(shù)值自然就小； 其次 ， 若 12V r s s( , , ) 本身很弱 ， 這項(xiàng)積分也不會(huì)大 ； 再就是 ， 若入射粒子能量很大 ， k 就很大，被積函數(shù)中的相因子 1 張永德 ， 大學(xué)物理 ， 1988 年 ， 第 6 期 ， 第 11 頁(yè) 。 251 ? ?ik r rexp ?? 將隨積分變數(shù) r? 變化快速振蕩 ， 這使積分值急劇減少 。 對(duì)積分進(jìn)行估值可得如下兩個(gè) Born 近似適用條件的表達(dá)式 1， 22V avVa?? ?????? ???? () 這里 a 是勢(shì)場(chǎng)（不顯著為零的）區(qū)域的尺寸 ， v 為入射粒子的速度 。第一個(gè)不等式 是說(shuō) 弱勢(shì) 。它 只涉及勢(shì)場(chǎng)本身 ， 不涉及入射粒子的能量 。勢(shì)能 在數(shù)值上應(yīng)顯著小 于 （ 將粒子局域在 a 范圍時(shí)按不確定 關(guān)系 所得的 ） 動(dòng)能 ； 第二個(gè)不等式 是說(shuō) 高能 。 只要入射粒子能量足夠高 ， 不論勢(shì)場(chǎng)形狀如何 Born 近似總能成立 。 于是 ， 一個(gè)散射勢(shì) ， 如果低能時(shí)可以對(duì)它做 Born 近似 ， 則高能時(shí)一定更可以 ； 反之不一定 。 Coulomb 勢(shì)是個(gè)長(zhǎng)程勢(shì)，對(duì)它顯然難以給出一個(gè)確定的 a 值。這時(shí) ， 可將第二個(gè)不等式右邊 a 代以 r (同時(shí)左邊的 V 中也有同一個(gè) r )，于是得 Avrr?? ， 也即 A 1v?? 如果 2A Ze? ，則要求 Zv137 c?? ( 2e1c 137? 為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) )。 當(dāng) Z 不大并且入射粒子速度不小的情況下 ， Born 近似對(duì) Coulomb 場(chǎng)也是成立的 。 4, 無(wú)自旋 例算 i, Coulomb 散射 這時(shí) AVr r()? ，是中心場(chǎng)情況 ， 于是 用 ()式，得 22022 A 2 Af r q r d r q r d rq r q( ) s i n ( ) s i n ( )??? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? () . 朗道， . 栗弗席茨，量子力學(xué) (非相對(duì)論理論 )，高等教育出版社， 1981 年。 252 這個(gè)積分在 r??? 處呈現(xiàn)不確定性 ， 這種不確定性在涉及 Coulomb 場(chǎng)的許多積分中都 存在 。它 可用下面常用的技巧將它避免過(guò)去：在被積函數(shù)中人為插入一個(gè)衰減因子 ? ?rexp ? ?? （ 0?? ），待算完積分之后，再令 0?? 取極限，以消除衰減因子的影響。 這樣可得 ? ?2 002Af r q r d rq( ) l i m ex p s i n ( )?????? ? ? ?? ? ?? 2 2 2 2 202 A q 2 Aq q qlim?????? ? ? ?? ? 222 4 4Af4v 2( ) ( ) si n? ? ? ???? () 這正是著名的 Rutherford 散射公式 ， 它是 1909 年 Rutherford 研究 ? 粒子在金屬薄箔上散射時(shí)提出的 。 ()式表明庫(kù)侖散射有兩個(gè)特點(diǎn) ： 其一 ， 集中于小 ? 角 ， 其二 ， 截面反比于入射粒子能量 平方 。 ii, 電子在原子上的散射 —— 屏蔽效應(yīng) 電子和多電子原子散射時(shí) ， 入射電子除了受原子核庫(kù)侖吸力作用之外 ， 還受核外各個(gè)電子庫(kù)侖斥力的作用 。 嚴(yán)格說(shuō) ， 這是一個(gè)多體 彼此 相互作用的 問(wèn)題。 但如果將核外各個(gè)電子的作用近似 （?。┐?一個(gè)分布電荷 er()?? 的作用 ， 就可以將 這個(gè)問(wèn)題化為兩體散射問(wèn)題 ，并進(jìn)而簡(jiǎn)化為 電子在固定力心上散射 的單體問(wèn)題。 這時(shí)散射勢(shì)由核及核外電子云的 Coulomb 作用組成，表達(dá)式如下 2 2Z e rV r e d rr r r()() ? ? ?? ? ? ??? () 代入 非中心場(chǎng)情況的 ()式，得 253 2i q r 22Z e rf e e d r d r2 r r r()( , ) ???? ? ??? ?? ?? ?? ?? ? ? ???? ? ??????? 2 i q r2 2 2e 4 Z 4 r e d r2 q q ()? ? ? ?? ??????? ????????? 這里已經(jīng)利用了下面兩個(gè)積分公式， iq r 2dr 4e rq???? ? ??? 和 iq r iq r2d r 4eer r q?? ??? ? ?? ?? ???? 求這些