【文章內(nèi)容簡介】 xhiex?????20)( 一般定態(tài)薛定諤方程的意義 : *質量為 m (不考慮相對論效應 ),并在勢場中運動的一 個 粒子 ,有一個 波函數(shù) 與它的運動的 穩(wěn)定狀態(tài) 相聯(lián)系 , 這個 波函數(shù)滿足薛定諤方程。 *這個方程的每一個解 ?(x,y,z) ,表示粒子運動的某一個穩(wěn)定狀態(tài) .與這個解相應的常數(shù) E (參數(shù) ),就是粒子在這個 穩(wěn)定狀態(tài)的 能量。 *同時說明 , 根據(jù)題設的 U , 還要算出 ?(x,y,z) 合理 : 單值、連續(xù)、有限、歸一化 。 因此， 只有 E 為一些特定的值時，方程才有解，這些 E 值叫本征值，與這些 E 值對應的波函數(shù) ?(x,y,z) 叫本征函數(shù)。 總之， ‘解薛定諤方程’， 就是 求出： （ 1）波函數(shù) ‘ ? ’ （ 2）與這些狀態(tài)對應的能量 E ，從而動量 P 。 )(2 2 22 UEmPmEP ??? 或21表示粒子所處的各個可能穩(wěn)定狀態(tài)。 167。 26— 6 勢阱中的粒子 1. 對一維 無限深 方勢阱 求解薛定諤方程 0 a X)(xU設質量為 m 的粒子只能在 0xa 的區(qū)域 內(nèi)自由運動 ax0 0)( ???xUax 0,x )( ????xU因此 ，在 x ? 0, x ? a 的區(qū)域中 定態(tài) 問題 在 0 ? x ? a 的區(qū)域中，粒子的定態(tài) 薛定諤方程為 求解此薛定諤方程： （ 1） 求 ?（ x） , （ 2） 求 E （ 1）先求 E 22 2?mEk ?令薛定諤方程改寫為 0)( )( 222???? xkxd xd22?(x)=0 0)()(2 )( 222????? xUEmxd xd ? 0)(2 )( 222???? xmEdxd?)( x?其通解為 ： kxBkxAx c o ss i n)( ???式中 A、 B、 k 可用 邊界條件 、 歸一化條件 確定。 邊界條件 0)0( ??)2(0)c o s ()s in( ????? kaBkaA由（ 1）可得： 0?B kxAx s in)( ???0si n ?kaA ‘k’ 只能取一系列不連續(xù)的值 . )1 , 2 , 3 ,(n ??????anknka注意： n ? 0 。 若 n=0, k=0, ?(x) ?0 ‘ k ’是什么？ ‘k’對應著能量！ k 取一系列不連續(xù)的值，就是 能量 只能取一系列不連續(xù)的值。 23由（ 2）可得： 這樣的波函數(shù)不滿足歸一化條件 ! )1(0)0c o s ()0s in( ????? BA0)( ?? a0)( )( 222???? xkxd xd?22 2?mEk ??。? 即 , 粒子在無限深方勢阱中允許的狀態(tài)的能量值為 : ??mkEn 222 ?結論： 10 能量是量子化的 這是量子力學中解薛定諤方程得到的必然結果，不是（玻爾理論中的）人為的假設。 20 可看出粒子的零點能（即粒子的最低能量狀態(tài)）。 02 2221 ???maE?（ 與 a 有關，居然與 v 無關?。? 經(jīng)典理論中粒子的能量可以為零， 量子理論認為勢阱中的粒子能量不可能為零 。 24動能！ （ 因 U = 0 ） ankmEk ??? ,222? 2 2222man ?? )3,2,1( ??n30 相鄰兩能級的能量差：可以證明 —— 當勢阱的 寬度 a 小 到原子的尺度， ?E 很大， 當勢阱的 寬度 a 大 到宏觀的尺度， ?E 很小， 252222)12(manE ??????? En ? ,可把能量看成連續(xù)，量子理論 回到了經(jīng)典 理論。 12 EnE n ?),2,1( 22 222222??? ???? nmanmkE n能量的 量子化顯著。 能量 量子化不顯著 。 ?? Ea ? ,40 對不同的 n , 得粒子的能級圖 ? （ 2）再求 ?(x) 薛定諤方程本征解 與一定的 En 對應，得本征函數(shù)： )( xn? s i n xanA ??式中的 A 可由歸一化條件確定： 1)(2?? ????dxx1)(s i n 202 ??? dxxanAa 查表求得 ??? 122 aAaA2??? )( xn 0薛定諤方程 的解： 26 )s i n (2 xana ?)0( ax ??kxAx s in)( ?? ank ??axx ?? ,0ax ??0說明： 10 粒子被限制在勢阱中，它的狀態(tài)稱為束縛態(tài)，描述這些狀態(tài)的波函數(shù)為實數(shù)，從物理意義上理解束縛定態(tài)方程 的解，是一些 駐波 。這些駐波圖形 ,形象地表示出處在某個能量狀態(tài)的粒 子在 0 x a 范圍內(nèi)哪些地方出現(xiàn)粒子的 幾率 最大、最小。 0 a 0 an12342221 2 maE??? xaax??? s in2)(112 4 EE ? xaax??? 2s in2)(2xaax ??? 3s in2)(313 9 EE ?14 16 EE ? xaax??? 4s in2)(4)(2 x?2a4a 43a6a2a65a27)(x?8a85a83a87a )s i n (2)( xanax ???20 束縛定態(tài)能級的高低，由駐波的半波數(shù)來定，半波數(shù)越多，（駐波波長越短），對應粒子的能級越高 。 30 第 n 個能級 ,波函數(shù)在總區(qū)間內(nèi)有 n1個節(jié)點 ( 0 、 a 除外） . 節(jié)點說明此處出現(xiàn)粒子的幾率為零 . 例： n=8 0 a280 a)(2 x?2a4a 43a6a2a65a8a85a83a87a1?n234例 5. 在寬度為 a 的一維無限深方勢阱中運動的電子 ?? )( x axx ?? ,0 0axxanA ??? 0 s i n （ 4） n=1 及 n=2時，幾率密度最大的位置 （ 5） 處在基態(tài)的粒子 在 a/4 — 3a/4 范圍內(nèi)的幾率 （ 6） 波函數(shù)圖形 解（ 1） 1)(s i n 20 2 ??? dxxanAaaA2?? （ 2） 0)(2)( 222???? xmEdx xd ?由邊界條件可求得 2221 2 maE??? （ 4） 幾率密度： 29求 （ 1） 系數(shù) A（ 2） 基態(tài)能量 （ 3） 基態(tài)德布羅意波長 已知： a2?ax ??0 )(s i n2 2 a xna ?? 2)( xw ?? （ 3）