【文章內容簡介】 nan － 1an( n ≥ 2 ， n ∈ N*) ， ① 得 ak － 1－ 0＝ 0 ，因此 ak － 1＝ 0. 由此，將 ① 反復利用，則得 ak＝ ak － 1＝ ? ＝ a1＝ 0 這與 a1＝ 3 相矛盾，所以 an≠ 0 ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) ． 返回目錄 第 9講 等差數列、等比數列 (2) 由題 bn＝1an，則有 an＝1bn， ② 將 ② 式代入 ① 式可得1bn － 1－1bn＝13n 1bn － 11bn， 整理得 bn－ bn － 1＝13n . 又 b1＝1a1＝13， 因此當 n ≥ 2 時，則 bn＝ b1＋ ?k＝2n 13k ＝13＋13?k＝2nk ＝n （ n ＋ 1 ）6，且當 n ＝ 1 時也成立． ∴ bn＝n （ n ＋ 1 ）6， n ∈ N*. 第 10講 數列求和及數列的 簡單應用 返回目錄 核心知識聚焦 命題考向探究 命題立意追溯 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 1 ． [ 2022 安徽卷改編 ] 已知數列{ b n } 的通項公式 b n ＝ 2 n ＋12 n＋ 2①，則其前 n 項和為 ________ ． [ 答案 ] n 2 ＋ 3 n ＋ 1 － 12 n [ 解析 ] S n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ ? ＋ b n ＝ 2 n ＋2n （ n ＋ 1 ）2＋12 ??????1 －12n1 －12＝ n2＋ 3 n ＋ 1 －12n . ? 分組運算 關鍵詞：通項公式分成等差數列＋等比數列的形式，如 ① . —— 主干知識 —— 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 2 ． [ 2022 新課標全國卷 Ⅰ 改編 ] 已知等差數列 { a n } 的通項公式 a n ＝2 － n ，則數列??????????1a 2 n － 1 a 2 n ＋ 1②的前 n項和為 ________ ． [ 答案 ] n1 － 2 n [ 解析 ] 由通項公式 a n ＝ 2 － n ，得1a 2 n － 1 a 2 n ＋ 1＝1（ 3 － 2 n ）（ 1 － 2 n ）＝1212 n － 3－12 n － 1，則前 n 項和為121－ 1－11＋11－13＋ ? ＋12 n － 3－12 n － 1＝n1 － 2 n. —— 主干知識 —— ? 裂項相消 關鍵詞：分式通分的逆運算，如②③ . 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 3 ． [ 2022 廣東卷改編 ] 已知數列{ a n } 的通項公式為 a n ＝ 2 n － 1 ，則1a 1 a 2＋1a 2 a 3＋ ? ＋1a n a n ＋ 1③＝ ________ ． [ 答案 ] n2 n ＋ 1 ? 裂項相消 關鍵詞：分式通分的逆運算，如 ②③ . —— 主干知識 —— [ 解析 ] 1a 1 a 2＋1a 2 a 3＋ ? ＋1a n a n ＋ 1＝11 3＋13 5＋15 7＋ ? ＋1（ 2 n － 1 ）（ 2 n ＋ 1 ）＝12 1 －13＋13－15＋ 15－17＋ ? ＋12 n － 1－12 n ＋ 1＝12????????1 －12 n ＋ 1＝n2 n ＋ 1. 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 4 ． [ 2022 湖南卷改編 ] 已知數列 { a n }的通項公式為 a n ＝ 2n － 1， n ∈ N*，則數列{ na n } 的前 n 項和④為 ________ ． [ 答案 ] ( n － 1) 2 n ＋ 1 [ 解析 ] 設 T n ＝ 1 20＋ 2 21＋ 3 22＋ ? ＋ n 2n － 1，則 2 T n ＝ 1 21＋ 2 22＋ 3 23＋ ? ＋ n 2n， 上兩式相減得－ T n ＝ 20＋ 21＋ 22＋ 23＋ ? ＋ 2n － 1－ n 2n， 故－ T n ＝1 － 2n1 － 2－ n 2n， T n ＝ ( n － 1) 2n＋ 1. —— 主干知識 —— ? 錯位相減 關鍵詞： “ 等差數列 等比數列 ” 型的數列求和，如④⑤ . 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 5 ． [ 2022 山東卷改編 ] 已知數列 { b n } 的通項公式為 b n ＝2 n － 12 n， n ∈ N *⑤，則其前 n項和 T n ＝ ________ ． ? 錯位相減 關鍵詞： “ 等差數列 等比數列 ” 型的數列求和，如④⑤ . —— 主干知識 —— [ 答案 ] 3 － 2 n ＋ 32 n [ 解析 ] 因為 T n ＝12＋322 ＋523 ＋ ? ＋2 n － 12n ， 所以12T n ＝122 ＋323 ＋524 ＋ ? ＋2 n － 32n ＋2 n － 12n ＋ 1 ，兩式相減得 12T n ＝12＋222 ＋223 ＋224 ＋ ? ＋22n －2 n － 12n ＋ 1 ＝32－12n － 1 －2 n － 12n ＋ 1 ，所以T n ＝ 3 －2 n ＋ 32n . 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 體驗高考 —— 返回目錄 核心知識聚焦 6 ． [ 2022 江西卷 ] 某住宅小區(qū)計劃植樹不少于 100 棵，若 第一天植 2 棵，以后每天植樹的棵數是前一天的 2 倍⑥，則需要的最少天數 n ( n ∈ N*) 等于 ________ ． ? 數列的實際應用 關鍵詞：與數列有關的應用問題，如 ⑥ . —— 主干知識 —— [ 答案 ] 6 [ 解析 ] 根據已知條件，直接計算 2 ＋ 4＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＝ 126 ，得 n ＝ 6 ；或者由題意知種植棵數成等比數列，則 2 ＋ 22＋23＋ ? ＋ 2n＝ 2n ＋ 1－ 2 ≥ 100 ，得 n 為 6. 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 —— 基礎知識必備 —— 返回目錄 返回目錄 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 ? 考向一 分組轉化求和法 考向：可分為等差數列和等比數列的求和． 考例：近五年新課標全國卷沒有考查． 例 1 設數列 { an} 是等差數列，數列 { bn} 的前 n 項和 Sn滿足 Sn＝32( bn－ 1) 且 a2＝ b1， a5＝ b2. (1) 求數列 { an} 和 { bn} 的通項公式； (2) 設 Tn為數列 { an＋ bn} 的前 n 項和，求 Tn. 命題考向探究 返回目錄 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 解： (1) 由 Sn＝32( bn－ 1) ， Sn － 1＝32( bn － 1－ 1)( n ≥ 2) ，得 bn＝ Sn－ Sn － 1＝32( bn－ bn － 1)( n ≥ 2) ，即 bn＝ 3 bn － 1， 又 b1＝ 3 ，故 bn＝ 3n( n ∈ N*) ． 因為 a2＝ b1＝ 3 ， a5＝ b2＝ 9 ， 所以公差 d ＝a5－ a25 － 2＝ 2 ， 所以 an＝ 2 n － 1( n ∈ N*) ． (2) 因為 an＋ bn＝ 3n＋ 2 n － 1 ， 所以 Tn＝ (3 ＋ 32＋ ? ＋ 3n) ＋ 2(1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ) － n ＝32(3n－ 1) ＋ n ( n ＋ 1) － n ＝3n ＋ 12＋ n2－32. 另解： { an} 的前 n 項和為n [1 ＋（ 2 n － 1 ） ]2＝ n2， 數列 { bn} 的前 n 項和 Sn＝32( bn－ 1) ＝32(3n－ 1) ， 所以 Tn＝ n2＋32(3n－ 1) ＝3n ＋ 12＋ n2－32. 命題考向探究 返回目錄 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 小結： 運用等差數列和等比數列的求和公式進行求和是最基本的方法，分組求和的基礎是該數列能夠有效分拆成等差 數列和等比數列的和 ( 或差 ) 的形式，再分別利用求和公式進行運算． 命題考向探究 返回目錄 命題考向探究 變式題 設 { a n } 為等差數列， S n 為數列 { a n } 的前 n項和，已知 S 7 ＝ 7 ， S 15 ＝ 75. (1) 求數列 { a n } 的通項公式 a n ； (2) 設 b n ＝ 8 2 a n ， T n 為數列 { n ＋ b n } 的前 n 項和，求 T n . 第 10講 數列求和及數列的簡單應用 返回目錄 命題考向探究 解： (1) 設等差數列 { an} 的公差為 d ， 則 Sn＝ na1＋12n ( n － 1) d ， ∵ S7＝ 7 ， S15＝ 75 ， ∴?????7 a1＋ 21 d ＝ 7 ，15 a1＋ 105 d ＝ 75.∴?????a1＝－ 2 ，d ＝ 1. ∴ an＝ a1＋ ( n － 1) d ＝－ 2 ＋ n － 1 ＝ n － 3. (2) 由 (1) 得 bn＝ 8 2 an