[理學(xué)]考研定積分應(yīng)用詳解(編輯修改稿)
2025-01-04 01:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 型 2[ ( ) ] dyy?dy cV ?? ?2[ ( ) ] dbx aV f x x?? ?2 ( ) dby aV x f x x?? ? 2 π ( ) ddx cV y y y?? ?( ) dbaA f x x? ? ( ) ddcA y y?? ?請熟記以下公式： dba yx? ? ddc xy? ? 2 1 d ,bas y x????22 ( ) 1 ( ) d .bx aA f x f x x? ????22 注意： 1) 以上公式都要求 2) 復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會(huì)分割 . 3) 不能用公式時(shí)應(yīng)會(huì)元素法 . ,.a b c d??4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 則上述公式可以用定積分的換元法處理 . ()( ) .()xttyt???????????5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程 則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程： ( ( ) ,? ? ? ? ? ?? ? ?)( ) c os()( ) sinxy? ? ?? ? ?? ? ????????6)與弧長有關(guān)時(shí) ,其限應(yīng)上大下小 . 23 s i n , c o s1 , π. 0y x y x x x? ? ? ?求例 曲 線 及 所 圍 成.平 面 圖 形 的 面 積c o syx?si nyx?ππ2解 : s i n c o sy x y x?? 與 的 交 點(diǎn)π 2( , ) ,42坐 標(biāo) 為則 所 求 面 積 為 ：π0 c o s s in dA x x x???π π4π04= ( c o s s i n ) d ( s i n c o s ) dx x x x x x? ? ???=2 2.典型例題分析 xyo24 3 s i n ,2. 1 s i n? ? ? ?? ? ?求 夾 在例 兩 曲 線 的 內(nèi) 部平 面 圖 形 的 面 積 .解 : 21 ( ) d2A??? ? ?? ?面 積 公 式3 sin1 sin?????? ???=解 方 程 組π6? ?得 ，22621206112 [ ( ) d ( ) d ]22A???? ? ? ? ? ?????則 所 求 面 積 為226206( 3 s in ) d ( 1 s in ) d???? ? ? ?? ? ????xyo25 3 ( 03. ),y x x A??過 曲 線 上 點(diǎn) 作 切 線 使 該例 切 線 與 曲 線3 :4xD及 軸 圍 成 的 平 面 圖 形 的 面 積 為 ， 求( 1 ) ( 2 )A D x點(diǎn) 的 坐 標(biāo) ； 求 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 立 體 的 體 積 .x y o 3yx?A 0xB 解： 300( 1 ) ( , ) ,A x x設(shè) 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為231 ,3yx?? ? 則 切 線 方 程 為2330 0 01 ( ) ,3y x x x x?? ? ?00 2 ,y x x? ? ?令 ， 得 0( 2 , 0 ) ,Bx ?則 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為依題意有 0 3300 0133 d ,24xx x x x? ? ? ??0 1x ?解 得 ， 0 1y ? ， ( 1 , 1 ) .A則 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 為( 2 ) Dx繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 所 得 的 體 積 為122 301 π 13 π ( ) d3V x x? ? ? ? ?1 2302= π π ( ) d π .5xx???126 例 4. 計(jì)算拋物線 2 24y x y x? ? ?與 直 線 所 圍 平 面 圖 形解： 如圖， V ? 80 2dxx? ?21 443 ?? ? ? ?1283 ??x2 2yx?oy4yx??(8,4)(2 , 2)?x繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 而 成 的 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 .xx分 析 ： 軸所 求 體 積 等 于 的方 平 面 圖 形 繞上 軸旋 轉(zhuǎn) 一 周 而 成 的 旋 轉(zhuǎn) 體 的 體 積 .求兩曲線的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????????422xyxy4 82[ ( ) ] dbaV f x x?? ?27 而成的 旋轉(zhuǎn)體的體積 . 分析： 無公式可用 ,可用元素法 .如圖 : 例 5. 0 , lny x e y x xe?? ??求 由 及 所 圍 圖 形 繞 旋 轉(zhuǎn)解法 1:選擇 y 作積分變量 , [ 0 , 1 ]y ? xyo 1 elnyx?xe?ydyy?2d ( ) dyV e e y???則1 20 ( ) dyV e e y????解法 2:選擇 x 作積分變量 , [1 , ]xe?xyo 1 elnyx?xe?x dxx?d 2 ( ) ln dV e x x x???則1 2 ( ) ln deV e x x x???? ?1211( 2 )22ee?? ? ?28 e思考 :過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 軸圍成平面圖形 D. 解 : (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 則所求切線方程為 由切線過原點(diǎn)知 的切線 . 該切線與 0 ,xe? ?故切線方程為 1yxe?yxe??Dlnyx?1yxe?1 (2022考研 ) 11 1 ln d2eA e x x? ? ? ? ?
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