導數(shù)的應用2ppt課件(編輯修改稿)
2024-11-30 20:18 本頁面
【文章內容簡介】 , 故 f(x)在 （ 1， 1） 上是減函數(shù) . 所以 f(1)=2是極大值 ， f(1)=2是極小值 . （ 2） 曲線方程為 y=x33x,點 A（ 0， 16） 不在曲線上 . 設切點為 M（ x0， y0） ， 則點 M的坐標滿足 y0= 3x0. 因 f′ (x0)=3( 1),故切線的方程為 yy0=3( 1)(xx0), 注意到點 A（ 0， 16） 在切線上 ， 有 16(x 3x0)=3(x 1)(0x0), 化簡得 x =8,解得 x0=2. 所以 ， 切點為 M（ 2， 2） ， 切線方程為 9xy+16=0. 30x20x20x30 2030題型三 函數(shù)的最值與導數(shù) 【 例 3】 已知 a為實數(shù)，且函數(shù) f(x)=(x24)(xa). (1)求導函數(shù) f′( x)。 (2)若 f′( 1)=0，求函數(shù) f(x)在［ 2， 2］上的最大值、最小值 . 先求函數(shù)的極值，然后再與端點值進行比較、確定最值 . 解 （ 1） f(x)=x3ax24x+4a, 得 f′( x)=3x22ax4. 思維啟迪 （ 2） 因為 f′ (1)=0,所以 a= , 有 f(x)=x3 x24x+2,所以 f′ (x)=3x2x4. 又 f′ (x)=0,所以 x= 或 x=1. 又 f = ,f(1)= , f(2)=0,f(2)=0, 所以 f(x)在 ［ 2， 2］ 上的最大值 、 最小值分別為 、 . 212134??????34 2750? 29292750? 探究提高 在解決類似的問題時 ， 首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別 .求解函數(shù)的最值時 ， 要先求函數(shù) y=f（ x） 在 ［ a， b］ 內所有使 f′ （ x） =0的點 ， 再計算函數(shù) y=f（ x） 在區(qū)間內所有使 f′ （ x）=0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值 ， 最后比較即得 . 知能遷移 3 已知 a為實數(shù) ， 函數(shù) f(x)=(x2+1)(x+a).若f′ (1)=0， 求函數(shù) y=f(x)在 [ ， 1]上的最大值和最小值 . 解 ∵ f′ (x)=3x2+2ax+1,又 f′ (1)=0， ∴ 32a+1=0， 即 a=2. ∴ f′ （ x） =3x2+4x+1=3（ x+ ） (x+1). 由 f′ (x)＞ 0， 得 x＜ 1或 x＞ ； 由 f′ (x)＜ 0， 得 1＜ x＜ . 23?313131因此函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間為 [ ， 1]， [ ， 1]， 單調遞減區(qū)間為 [1， ]. ∴ f（ x） 在 x=1取得極大值為 f(1)=2。 f(x)在 x= 取得極小值為 f = 又 ∵ f = f(1） =6， 且 ＞ ∴ f(x)在 [ ,1]上的最大值為 f(1)=6, 最小值為 f = . 23?31?31?31? ???????31 .2750???????23 ,813 2750 ,81323????????23 813題型四 生活中的優(yōu)化問題 【 例 4】 (12分 )某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品 ， 每件產(chǎn)品的成本為 3元 ， 并且每件產(chǎn)品需向總公司交 a元（ 3≤ a≤ 5） 的管理費 ， 預計當每件產(chǎn)品的售價為 x元 （ 9≤ x≤ 11） 時 ， 一年的銷售量為 (12x)2萬件 . （ 1） 求分公司一年的利潤 L（ 萬元 ） 與每件產(chǎn)品的售價 x的函數(shù)關系式； （ 2） 當每件產(chǎn)品的售價為多少元時 ， 分公司一年的利潤 L最大 ， 并求出 L的最大值 Q（ a） . 關鍵抽象出具體函數(shù)關系式 ， 運用導數(shù)解決 . 解 （ 1） 分公司一年的利潤 L（ 萬元 ） 與售價 x的函 數(shù)關系式為： L=(x3a)(12x)2,x∈ ［ 9,11］ .2分 (2)L′ (x)=(12x)22(x3a)(12x) =(12x)(18+2a3x). 令 L′ =0得 x=6+ a或 x=12（ 不合題意 ， 舍去 ） .4分 ∵ 3≤ a≤ 5,∴ 8≤ 6+ a≤ . 在 x=6+ a兩側 L′ 的值由正變負 . 所以 ① 當 8≤ 6+ a＜ 9即 3≤ a＜ 時 ， Lmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a). 7分 3232328323229思維啟迪 解題示范 ② 當 9≤ 6+ a≤ 即 ≤ a≤ 5時 ， Lmax=L(6+ a)=(6+ a3a)［ 12(6+ a)］ 2 =4(3 a)3. 10分 9(6a), 3≤ a＜ , 4(3 a)3, ≤ a≤ 5. 11分 答 若 3≤ a＜ ， 則當每件售價為 9元時 ， 分公司一 年的利潤 L最大 ， 最大值 Q（ a） =9(6a)（ 萬元 ） ； 若 ≤ a≤ 5， 則當每件售價為 (6+ a)元時 ， 分公 司一年的利潤 L最大 ， 最大值 Q(a)=4(3 a)3(萬元 ). 12分 32328293232323129所以 Q(a)= 312929293231探究提高
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