【文章內(nèi)容簡介】 事實上，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)并無本質(zhì)的區(qū)別，只是由于掌握資料的不同，而采用了不同的計算形式而已。當(dāng)已知各組標(biāo)志值之和 xf 和各組標(biāo)志值（或組中值） x，而不知道各組的次數(shù) f時，設(shè) m＝ xf，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式可做如下變形： ＝ ＝ ＝ x??fxf ??xmmHx 練習(xí)：某車間資料如表 55所示，計算平均日產(chǎn)量。 表 55 某車間資料 日產(chǎn)量（件） x 各組日產(chǎn)量 m=xf 20 40 2 30 60 2 40 320 8 50 300 6 60 120 2 合計 840 20 mxf ?? 1 調(diào)和平均數(shù)的特點： （ 1）調(diào)和平均數(shù)是根據(jù)總體的全部變量值計算的結(jié)果。當(dāng)資料不完整時，無法計算。 （ 2）調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響，而且受極小值的影響大于受極大值的影響。這是因為調(diào)和平均數(shù)中變量值采用的是倒數(shù)，小數(shù)字的倒數(shù)值大于大數(shù)字的倒數(shù)值。 （ 3）調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用范圍較小。如果在變量值中有一項為 0，則無法求其確定的調(diào)和平均數(shù)。 第四節(jié) 幾何平均數(shù) 一、幾何平均數(shù)的概念 幾何平均數(shù)就是 n個變量連乘積的 n次方根。 二、幾何平均數(shù)的計算方法 由于掌握資料差異，幾何平均數(shù)也分為簡單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)。 （一）簡單幾何數(shù) 設(shè)有 n個變量值， x1, x2 , … , xn , 由幾何平均數(shù)定義可得出簡單幾何平均數(shù)的計算公式為： ＝ ＝ G nnxxx ?21? n x? 式中 : G —— 幾何平均數(shù)； ∏ —— 連乘符號。 【 例 55】 某機械廠生產(chǎn)機器 ,設(shè)有毛坯、粗加工、精加工、裝配四個連續(xù)作業(yè)的車間，各車間某批產(chǎn)品的合格率分別為 96%， 93%， 95%， 97%。求各車間制品平均合格率。 分析：由于全廠產(chǎn)品的總合格率并不等于各車間制品的合格率總和，后續(xù)車間的合格率是在前一車間制品全部合格的基礎(chǔ)上計算的。全廠產(chǎn)品的總合格率應(yīng)等于各車間制品合格率的連乘積，所以不能采用算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)公式計算平均合格率，而應(yīng)用幾何平均法來求。 車間制品平均合格率 ＝ ＝ ＝ % Gx4 %97%95%93%96 ???n x?第五節(jié) 眾數(shù)和中位數(shù) 一、眾數(shù) （一）眾數(shù)的概念 眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。它是總體中最常用遇到的標(biāo)志值，是最普遍的最一般的標(biāo)志值。 （二）眾數(shù)的確定 確定眾數(shù)，首先要將數(shù)據(jù)資料進行分組，編制變量數(shù)列；然后，根據(jù)變量數(shù)列的不同種類采用不同的方法。 (1)根據(jù)單項式數(shù)列確定眾數(shù) 在單項式數(shù)列情況下，確定眾數(shù)比較簡單，只需要觀察找出次數(shù)出現(xiàn)最多的那個標(biāo)志值即可。 (2)根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù) 根據(jù)組距式數(shù)列確定眾數(shù)，需采用插補法。一般步驟是先確定眾數(shù)組，然后計算眾數(shù)的近似值。 【 例 56】 2021年某地區(qū)職工家庭人均月收入資料見表 55。 表 55 2021年某地職工家庭人均月收入資料表 人均月收入（元） 家庭戶數(shù)（戶） 300以下 300～ 400 400～ 500 500～ 600 600～ 700 700～ 800 800～ 900 900～ 1 000 1000以上 260 660 1 800 3 200 2 000 1 000 800 600 400 合 計 10 720 從表 55中的家庭戶數(shù)列可知，家庭戶數(shù)最多的是 3200戶，它所對應(yīng)的人均月收入為 500～ 600元。因此， 500～ 600元這一人均月收入組就是眾數(shù)組，它反映了人均收入的一般水平。然后利用下限公式或上限公式計算眾數(shù)的近似值： 下限公式： 上限公式： iLM ???????2110iUM ???????2120 式中， M0 —— 眾數(shù)； U —— 眾數(shù)組的上限； L —— 眾數(shù)組的下限； Δ 1 —— 眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差； Δ 2 —— 眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差； i —— 組距。 根據(jù)表中的資料，將有關(guān)數(shù)字代入下限公式，得到眾數(shù)的近似值： 0MUL1?2?i1202140014005000?????M 眾數(shù)具有以下幾個特點： 第一，由于眾數(shù)是根據(jù)變量值出現(xiàn)的次數(shù)確定的，不需要通過全部變量值來計算，因此它不受極端值的影響。 第二，在組距數(shù)列中，各組頒布的次數(shù)組距大小的影響，所以根據(jù)組距數(shù)列確定數(shù)列時，要保證各組組距相等。 第三，在一個次數(shù)分布中有幾個眾數(shù)，稱為多眾數(shù)；有兩個眾數(shù)，稱為雙重眾數(shù)，說明總體內(nèi)存在不同性質(zhì)的事物。 二、中位數(shù) （一）中位數(shù)的概念 中位數(shù)是指將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中間位置的那個標(biāo)志值。由于它的位置居中，其數(shù)值不受極端數(shù)值的影響，也能表明總體各單位標(biāo)志值的一般水平。 （二）中位數(shù)的確定 根據(jù)所掌握資料的不同，中位數(shù)的確定方法有兩種，即根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)和根據(jù)分組資料確定中位數(shù)。 ①將標(biāo)志值按大小排序 ②確定中位數(shù)所在的位置 與中位數(shù)所在位置相對應(yīng)的標(biāo)志值即為中位數(shù)。 中位數(shù)位置 = 如果標(biāo)志值的基數(shù)是奇數(shù)，那么中間位置的那個標(biāo)志值，就是中位數(shù)。 21?n 例如：某班組有 7名工人，日生產(chǎn)零件數(shù)分別為16， 17， 18， 20， 21， 22， 23件，則中位數(shù)所在位置為第 4位 [(7+1)/2]，第 4位所對應(yīng)的標(biāo)志值，即 20件就是中位數(shù)，它代表了這 7名工人日生產(chǎn)零件數(shù)的一般水平。 以上是標(biāo)志值的項數(shù)是奇數(shù)的情況。 如果標(biāo)志值的項數(shù)是偶數(shù)，那么處于中間位置左右兩邊的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，就是中位數(shù)。假如上述班組還有 1名學(xué)徒工人，日生產(chǎn)零件為 14件，那么他們生產(chǎn)零件數(shù)按順序排列為 14， 16， 17， 18，20， 21， 22， 23件。此時中位數(shù)的位置為第 [(8+1)/2]，則中位數(shù)為 19件 [(18+20)/2]，即第 4位和第 5位所對應(yīng)的標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)。 ①根據(jù)單項數(shù)列確定中位數(shù) 這時要考慮標(biāo)志值的分布情況，按一定方法計算累計次數(shù)（向上累計和向下累計）。 【 例 57】 某學(xué)院 2021～ 2021學(xué)年共有30名同學(xué)獲得獎學(xué)金，其分布情況見表 56。 表 56 學(xué)生獎