[理學]第十一章平穩(wěn)隨機過程(編輯修改稿)
2024-11-15 01:05 本頁面
【文章內容簡介】 上均方可積 , 記為 , 即 . . . ( )baabl i m X t dt? ??? ??? )(tX ),( ????????? dttX )(????? ??????? ?babadttXmildttX )(..)((P230) 設 是一個二階矩過程 , 且在 上均方可積 , 則 ? ?? ?????? ,),( ttX? ? ? ?[ , ] , , ,a b c d ?? ??，? ??ba ba dttXEdttXE ))((])([ ? ?????????? dttXEdttXE ))((])([? ?[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]b d b da c a cE X t d t X s d s E X s X t d s d t?? ? ? ?? ?,bdXac R s t ds dt? ??性質 3 二、 時間平均 設 是一個平穩(wěn)過程 , 稱 定義 3 ? ?( ),X t t T?1( ) . . . ( )2TTTX t l i m X t dtT ?? ? ?? ? ? ?1( ) ( ) . . . ( ) ( )2TTTX t X t l i m X t X t d tT?? ?? ? ?? ? ? ? ??為 的時間均值和時間相關函數(shù) . (P230) ()Xt定理 1 設 是平穩(wěn)過程 , 則 ? ?( ),X t t T?? ?1 [ ( ) ] XE X t ?? ? ? ? ?2 [ ( ) ( ) ] ( )XE X t X t R??? ? ? ?以概率 1成立 , 則稱 的自相關函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性 . 設 是一個平穩(wěn)過程 , 若 以概率 1成立 , 則稱 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 . (P232) 三、 各態(tài)歷經(jīng)性 )(tX)(tX 定義 4 ? ?TttX ?),()(tX若對任意的 XtXEtX ????? )]([)(? )()]()([)()( ??? XRtXtXEtXtX ??????若 的均值和自相關函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性 , 則稱 是各態(tài)歷經(jīng)過程 . 各態(tài)歷經(jīng)性也被稱為遍歷性 . )(tX)(tX(均值各態(tài)歷經(jīng)定理 ) 平穩(wěn)過程 X(t) 的均值 具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 定理 2 201l im ( 1 ) ( ) 02TXT CdTT? ??? ? ? ???其中 2( ) ( )X X XCR? ? ???(自相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理 ) 平穩(wěn)過程 X(t) 的相關函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 定理 3 其中 ? ????? T XT dRBTT 20 1211 0)]()()[21(1lim ????1 1 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]B E X t X t X t X t? ? ? ? ?? ? ? ? ?例 1 設 A， B 是均值為 0, 方差為 的獨立正態(tài)隨機變量， 的相關函數(shù)為 (167。 1例 2), 驗證 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 . 2?( ) s in c o sX t A t B t??2( ) c osXR ? ? ?? ??Xt解 2 201l im ( 1 ) [ ( ) ]2TXXT RdTT? ? ? ?? ? ? ???2 201l im ( 1 ) c o s 02TT dTT? ? ? ?? ? ?? ? ??故 的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 . ??Xt 設 , 是時間的函數(shù) ,滿足 167。 3平穩(wěn)過程的功率譜密度 一、 巴塞伐爾等式 )(tx t?? ? ? ??| ( ) |x t d t????? ??? 若 還滿足狄利克雷 (Dirichlet)條件 , 即在區(qū)間 內只有有限個第一類間斷點和極值點 . 則 的傅里葉變換 存在 , 且 )(tx)(tx),( ????()xF ?( ) ( ) itxF x t e d t?? ?? ???? ?它的傅里葉逆變換也存在 , 且 1( ) ( )2itxx t F e d????????? ?2 1( ) ( ) [ ( ) ]2itxx t dt x t F e d dt????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?1 ( ) ( )2 itxF d x t e d t????? ? ? ?? ? ? ?? ??1 ( ) ( )2 xxF F d? ? ??????? ?21 | ( ) |2 xFd???????? ?于是 由此得到巴塞伐爾等式 221( ) | ( ) |2 xx t dt F d???? ? ? ?? ? ? ????等式左邊表示函數(shù) 在 上的總能量， 右邊被積式 相應地稱為 的能量譜密度， 積分結果表示能量譜密度在全部頻域上的積分， 即總能量 . 因此，上式的右邊又可理解為總能量 的譜表示式 . )(tx ( , )?? ??2| ( ) |
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