數(shù)學(xué)模型mathematicalmodel(編輯修改稿)
2024-11-16 17:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 222sssss不可行可行可行可行不可行——————————45 第二次渡河： 對(duì)于 d1(0, 1) 由此可見，應(yīng)排除單人渡河的方案。 )2,3(2s??????????)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd??????????)3,5()4,3()3,4()3,3()2,4(33333sssss不可能不可能不可能還原為原狀態(tài)不可能——————————46 第二次渡河： 對(duì)于 d1(1, 1) )2,2(2s??????????)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd??????????)2,4()4,2()3,3()3,2()2,3(33333sssss不可能不可能還原為原狀態(tài)不可行可行——————————47 第二次渡河： 對(duì)于 d1(0, 2) 因此，第二次渡河時(shí)，可采取的策略為： d1(1, 1) ? d2(1, 0) 或 d1(0, 2) ? d2(0, 1) )1,3(2s??????????)0,2()2,0()1,1()1,0()0,1(22222ddddd??????????)1,5()3,3()2,4()2,3()1,4(33333sssss不可能還原為原狀態(tài)不可能可行不可能——————————48 這一方法實(shí)際上是一種搜索技術(shù)。 類似進(jìn)行以上分析，可尋找出渡河方案。 49 x y 3 3 2 2 1 1 O 模型求解 ——圖解法 狀態(tài) s = (x, y) ? 16個(gè)格點(diǎn) ? 10個(gè) 點(diǎn) 允許決策： 移動(dòng) 1 或 2 格 。 k 奇 , 左下移 。 k 偶 , 右上移 s1 sn+1 d1, ?, d11給出安全渡河方案 評(píng)注和思考 規(guī)格化方法，易于推廣 ? 考慮 4 名商人各帶一隨從的情況 d1 d11 允許狀態(tài) S S = {(x, y) ? x = 0, y = 0, 1, 2, 3。 x = 3, y = 0, 1, 2, 3。 x = y = 1, 2} ? 考慮 漢諾塔的問題 50 背景 人類文明發(fā)展到今天，人們?cè)絹碓揭庾R(shí)到地球資源的有限性，我們感受到 ―地球在變小 ‖，人口與資源之間的矛盾日漸突出，人口問題已成為當(dāng)前世界上被最普遍關(guān)注的問題之一，當(dāng)然人口增長(zhǎng)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及人口增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)對(duì)一個(gè)國(guó)家制定比較長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展規(guī)劃有著非常重要的意義。 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng) 51 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口 (億 ) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增長(zhǎng)概況 中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 研究人口變化規(guī)律 控制人口過快增長(zhǎng) 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2020 人口 (億 ) 52 影響人口的因素很多： 人口的多少，出生率、死亡率的高低，人口男女比例大小，人口年齡構(gòu)成情況，工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)水平高低，各民族的風(fēng)俗習(xí)慣，自然災(zāi)害，戰(zhàn)爭(zhēng)，人口遷移等。 我們先把問題簡(jiǎn)化，只考慮人口增長(zhǎng)的主要因素 ——增長(zhǎng)率 （ 出生率 – 死亡率 ） ， 其余因素暫不考慮，建立一個(gè)較粗的數(shù)學(xué)模型。 在這個(gè)模型的基礎(chǔ)上逐步考慮次要因素的影響，從而建立一個(gè)比一個(gè)與實(shí)際更加吻合的數(shù)學(xué)模型。 下面僅介紹幾個(gè)最簡(jiǎn)單、最典型的人口增長(zhǎng)模型。 53 指數(shù)增長(zhǎng)模型 兩個(gè)基本模型 kk rxx )1(0 ??x(t) ： 時(shí)刻 t 的 人口 基本假設(shè) ：人口（相對(duì)）增長(zhǎng)率 r 是常數(shù) trtx txttx ???? )( )()(今年人口 x0，年增長(zhǎng)率 r（保持不變 ）， k 年后人口 0)0(, xxrxdtdx ?? rtextx0)( ?trextx )()( 0? trx )1(0 ??隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng)（ r 0） — 最簡(jiǎn)單的人 口 增長(zhǎng)模型 — 指數(shù)增長(zhǎng)模型 — 馬爾薩斯 (Malthus)提出 (1798) 54 指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 ?與 19 世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 ?適用于 19 世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 ?可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) ?不符合 19 世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 ?不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程 ?19 世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)，人口增長(zhǎng)率 r 不是常數(shù)（逐漸下降） 55 阻滯增長(zhǎng)模型（ Logistic模型 ） 人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因： ? 自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用 ? 阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大 假設(shè) r(x) 為 x 的線性函數(shù)： r(x) = r – sx (r, s 0) r — 固有增長(zhǎng)率 （ x 很小時(shí) ） xm — 人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量） )1()(mxxrxr ?r 是 x 的減函數(shù) mxrs ?0)( ?mxr56 rxdtdx ? )1()(mxxrxxxrdtdx ??dx/dt x 0 xm xm/2 xm x txxxemm rt( )( )?? 1 10t x 0 x(t) — S 形曲線 , x 增加先快后慢 x0 xm/2 57 參數(shù)估計(jì) 用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口 預(yù)報(bào)，必須先 估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)采用最小二乘法作擬合 例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位：百萬） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 …… 專家估計(jì) r = , xm = 58 模型檢驗(yàn) 用模型計(jì)算 2020 年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較 ]/)1990(1)[1990()1990()1990()2020( mxxrxxxxx ?????實(shí)際為 (百萬 ) )2020( ?x模型應(yīng)用 加入 2020 年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù) r = , xm = x(2020) = — 預(yù)報(bào)美國(guó) 2020年的人口 Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用 (如耐用消費(fèi)品的售量 ) 59 數(shù)學(xué)建模的基本方法 機(jī)理分析 測(cè)試分析 根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)， 找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律 將對(duì)象看作“黑箱”，通過對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型 機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。 以下建模主要指機(jī)理分析。 二者結(jié)合 用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)， 用測(cè)試分析確定模型參數(shù) 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 60
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