【文章內容簡介】 ② (P?Q)?(P?Q) ?┐ (P?Q)?P∨ Q ③ (P?P)?(Q?Q)?┐P?┐Q?P∧ Q 167。 4 命題聯結詞的擴充 39 ? 是否每個符號串都是命題呢？ PQ? 、 P?Q∨ ? 什么樣的符號串才能表示命題呢？ 如下命題公式定義的符號串表示的才是命題。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 一、命題公式（合式公式或公式） 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 40 命題公式的定義 由命題變元經命題聯結詞可構成命題邏輯公式，亦可叫命題公式或公式。 定義 1:命題公式是由命題變元和聯結詞按以下規(guī)則組成的符號串 ① 原子命題變元本身是一個命題公式； ② 如果 P是命題公式，則 ?P 也是命題公式； ③ 如果 P、 Q是命題公式，則 P∧ Q、 P∨ Q、 P?Q和P?Q都是命題公式 ； ④ 只有有限次地應用 ① —③構成的符號串才是命題公式。 ? 命題公式是一個按上述法則由命題變元、命題聯結詞及圓括號組成的符號串或字符串。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 41 下列符號串都是 命題公式： ① ?P ② P?(?Q) ③ P?(?P) ④ P?(?P) ⑤ P?(?P) ⑥ (P?(?P))?((?P)∧ (P?R)) 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 42 下列符號串是否為 命題公式？ ① PQ ? ② P?Q ③ ?PQ ?R 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 43 一些注意 ? 定義 2是歸納定義，而不是循環(huán)定義 。 （ 1）是奠基，（ 2）、（ 3）是歸納步驟，（ 4）是界限。 ? 如果我們規(guī)定聯結詞運算的優(yōu)先次序為： ?、 ∧ 、 ∨ 、 ?、 ?，則， P∧ Q?R也是命題公式。 ? 有了聯結詞和命題公式概念，我們就可以把自然語言中的有些語句，翻譯成數理邏輯中的符號形式。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 44 二、命題的翻譯 EX1： 將下列語句翻譯為命題公式 ① 他既聰明，又用功。 ② 他雖聰明但不用功。 ③ 張明正在睡覺或游泳。 ④ 除非他通知我，否則我不參加會議。 ⑤ 張明與李強都可以做這件事。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 45 二、命題的翻譯 EX2： 設 P： “李明是男生 ”； Q： “李明是足球隊隊員 ”； R： “李明是班干部” 用日常語言敘述下列命題： ① P∧ Q ② Q∨ R ③ 172。P ∧ Q→R ④ P∧ Q∧ 172。R 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 46 三、指派和真值表 命題公式的真假由其中命題變元的值完全確定。 ? 命題公式中所有命題變元的一組確定的取值稱為公式的 一組真值指派 。 ? 公式值的確定是按公式中聯結詞出現的先后次序及括號順序逐步應用命題聯結詞的真值表規(guī)定而得到的， 所有的指派構成的公式的值 即組成了此 公式的真值表 。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 47 EX3： 構造 (P?Q)∧ ? R的真值表 P Q R (P?Q) ?R (P?Q)∧ ? R 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 48 EX4： 構造 (P→Q) ?(?P∨ Q)的真值表 P Q P?Q ?P ?P∨ Q (P→Q) ?(?P∨ Q) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 49 EX5： 構造 (P∧ Q)∧ ?P的真值表 P Q (P∧ Q) ?P (P∧ Q)∧ ?P 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 50 167。 3 等價重言式和蘊含重言式 P Q R (P?Q) (Q→R) ((P→Q) ∧ (Q→R)) (P→R) 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 練習： 構造 ((P→Q) ∧ (Q→R))→(P→R)) 的真值表 ((P→Q) ∧ (Q→R))→(P→R)) 51 命題公式的類型 ? 定義 2： 一個公式如果對其所有指派均取值為真，則稱此類型公式為 永真公式或叫重言式 。 反之，一個公式如果對其所有指派均取假值，則稱此類型公式為 永假公式或叫矛盾 。 ? 定義 3： 一個公式如果至少存在一個指派使其取值為真，則稱此公式為 可滿足公式 。 ? 重言式特性 ? 重言式的否定是矛盾，矛盾的否定是重言式。 ? 兩個重言式的合取、析取、蘊含、等價均為重言式。 ? 若兩個公式的等價是重言式，則此兩公式對任何指派必同真假 (EX4)。 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 52 命題公式的類型 命題公式 可滿足公式 永真式（或重言式） 可真可假式 不可滿足公式 （永假式或矛盾式） 167。 ２ 命題公式、翻譯和真值表 53 判斷下列公式的類型 例 A= (q?p) ?q?p p q q?p (q?p) ?q (q?p) ?q?p 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 54 例 B = ? (?p?q) ?q p q ?p ?p?q ? (?p?q) ? (?p?q) ?q 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 55 例 C= (p?q) ??r p q r p?q ?r (p?q)??r 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 56 167。 3 等價重言式和蘊含重言式 EX1： 構造 P?Q與 ┐P∨ Q的真值表 P Q P?Q ?P ?P∨ Q (P?Q) ? (┐P∨ Q) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 (P?Q) ? (┐P∨ Q) 167。 3 等價重言式和蘊含重言式 57 等價重言式 ? 設 A、 B為兩個命題公式， P1， P2… Pn是所有出現于 A和 B的命題變元，如果對于命題變元 P1， P2… Pn的任何一組真值指派，公式 A和 B都相同，即 A?B是永真式，則稱 A與 B是等價重言式或是等價的（邏輯等價的），記作 A?B。 ? 由上例知： (P?Q)?(┐P∨ Q) 167。 3 等價重言式和蘊含重言式 58 EX2： 證明 P?Q ? (P→Q) ∧ (Q→P) P Q (P ? Q) (P→Q) (Q→P) (P→Q) ∧ (Q→P) 0 0 1 1 1 1