命題與量詞、基本邏輯連接詞(編輯修改稿)
2024-09-11 22:58 本頁面
【文章內容簡介】 . 例 2 【 思路分析 】 (1)(3)中含全稱量詞 ， 使每一個 x都成立才為真； (2)(4)中含存在量詞 ， 存在一個x0成立即為真 ． 【解】 ( 1 ) 真命題， ∵ x2－ x ＋ 1 ＝ ( x －12)2＋34≥3412. ( 2) 真命題，如 α ＝π4， β ＝π2符合題意． ( 3) 假命題，如 x ＝ 1 ， y ＝ 5 ，但 x － y ＝－ 4 ? N. ( 4) 真命題，如 x 0 ＝ 0 ， y 0 ＝ 3 符合題意． 【 規(guī)律小結 】 (1)要證全稱命題是真命題 ， 必須確定對集合中的每一個元素都成立 ， 若是假命題 ，舉一反例即可 ． (2)要證存在性命題是真命題 ， 只要在限定集合中 ，找到一個元素使得命題成立即可 ． 全稱 (存在性 )命題的否定與命題的否定有著一定的區(qū)別，全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞，并把結論否定．存在性命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞，并把結論否定；而命題的否定是直接否定其結論． 全稱命題與存在性命題的否定 寫出下列命題的否定并判斷其真假． (1) p ：不論 m 取何實數(shù)值，方程 x2＋ mx － 1 ＝ 0 必有實數(shù)根； (2) p ：有的三角形的三條邊相等； (3) p ：菱形的對角線互相垂直； (4) p ： ? x 0 ∈ N ， x20 － 2 x 0 ＋ 1 ≤ 0. 例 3 【思路分析】 【解】 ( 1 ) 非 p ：存在一個實數(shù) m0，使方程 x2＋ m0x－ 1 ＝ 0 沒有實數(shù)根．因為該方程的判別式 Δ ＝ m20＋4 0 恒成立，故 非 p 為假命題． ( 2 ) 非 p ：所有的三角形的三條邊不全相等． 顯然 非 p 為假命題． (3)非 p：有的菱形的對角線不垂直 ． 顯然 非 p為假命題 ． (4)非 p： ?x∈ N， x2－ 2x＋ 10. 顯然當 x＝ 1時 ， x2－ 2x＋ 10不成立 ， 故 非 p是假命題 ． 【 名師點評 】 常見量詞的否定形式 解決這類問題時，應先根據(jù)題目條件，推出每一個命題的真假 (有時不一定只有一種情況 )，然后再求出每個命題是真命題時參數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)每個命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍． 求參數(shù)的取值范圍 已知 p：方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0有兩個不等的負實根； q：方程 4x2＋ 4(m－ 2)x＋ 1＝ 0無實根 ，若 p或 q為真 ， p且 q為假 ， 求實數(shù) m的取值范圍 ． 【 思路分析 】 先求出當 p、 q為真命題時 m的取值范圍 ． 再根據(jù) “ p或 q” ， “ p且 q” 的真假進一步求出 m的取值范圍 ． 例 4 【解】 p ：??? Δ ＝ m2－ 4 0m 0，解得 m 2 . q ： Δ ＝ 1 6 ( m － 2)2－ 16 ＝ 1 6 ( m2－ 4 m ＋ 3 ) 0 . 解得 1 m 3 . ∵ p 或 q 為真， p 且 q 為假． ∴ p 為真， q 為假，或 p 為假， q 為真． 即??? m 2m ≤ 1 或 m ≥ 3或??? m ≤ 21 m 3. 解得 m ≥ 3 或 1 m ≤ 2. 綜上， m 的取值范圍是 m ≥ 3 或 1 m ≤ 2. 【 誤區(qū)警示 】 在
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