01命題邏輯基本概念(編輯修改稿)
2024-08-31 07:50 本頁面
【文章內容簡介】 能被 2整除。 (6) a能被 4整除，僅當 a能被 2整除。 (7) 除非 a能被 2整除， a才能被 4整除。 (8) 除非 a能被 2整除，否則 a不能被 4整除。 (9) 只有 a能被 2整除， a才能被 4整除。 (10)只有 a能被 4整除， a才能被 2整除。 解： 令 r： a能被 4整除 s： a能被 2整除 (5)至 (9)五個命題均敘述的是 a能被 2整除是 a能被 4整除的必要條件 ，因而都符號化為 r→ s。 其真值為 1 在 (10)中， 將 a能被 4整除看成了 a能被 2整除的必要條件 ，因而應符號化為 s→ r。 a值不定時，真值未知。 關于蘊含的進一步說明 ?作為一種規(guī)定，當 p為假時，無論 q是真是假， p→ q均為真。也就是說，只有 p為真 q為假這一種情況使得復合命題p→ q為假。稱為 實質蘊含 。 ?例：如果 x5， 則 x2。 (1) x=6 如果 65，則 62。 (2) x=3 如果 35，則 32。 (3) x=1 如果 15，則 12。 ?例：如果我有車，那么我去接你 ?常出現的錯誤，沒有分清充分條件與必要條件。 定義 等價 (twowayimplication) ?設 p， q為二命題，復合命題 “ p當且僅當 q”稱作 p與 q的 等價式 ，記作 p?q， 稱作 等價聯結詞 ，并規(guī)定 p?q為真當且僅當 p與 q同時為真或同時為假 。 說明 ?“ 當且僅當 ”（ if and only if） ?p?q的邏輯關系為 p與 q互為充分必要條件。 ?(p→q)∧(q→p) 與 p?q的邏輯關系完全一致。 p q p ?q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 例 將下列命題符號化，并討論它們的真值 (1) π 是無理數當且僅當加拿大位于亞洲。 (2) 2+3＝ 5的充要條件是 π 是無理數。 (3) 若兩圓 A， B的面積相等，則它們的半徑相等；反之亦然。 (4) 當王小紅心情愉快時，她就唱歌；反之，當她唱歌時，一定心情愉快 。 (1)設 p： π 是無理數， q： 加拿大位于亞洲。 符號化為 p?q， 真值為 0。 (2)設 p： 2+3＝ 5， q： π 是無理數。 符號化為 p?q， 真值為 1。 (3)設 p： 兩圓 A， B的面積相等， q： 兩圓 A， B的半徑相等。 符號化為 p?q， 真值為 1。 (4)設 p： 王小紅心情愉快， q： 王小紅唱歌。 符號化為 p?q， 真值由具體情況而定。 關于基本聯結詞的說明 ?{┐,∧,∨,→, ?}，稱為一個聯結詞集。 ?由聯結詞集 {┐,∧,∨,→, ?}中的一個聯結詞聯結一個或兩個原子命題組成的復合命題是最簡單的復合命題，可以稱它們?yōu)?基本的復合命題 。 ?基本復合命題的真值見下表： 關于基本聯結詞的說明 ?多次使用聯結詞集中的聯結詞，可以組成更為復雜的復合命題。 ?求復雜復合命題的真值時，除依據上表外，還要規(guī)定聯結詞的優(yōu)先順序，將括號也算在內。 ?本書規(guī)定的聯結詞優(yōu)先順序為： ( )， ┐ ， ∧ ， ∨ ， → ， ?，對于同一優(yōu)先級的聯結詞，先出現者先運算。 例 令 p： 北京比天津人口多 。 q： 2+2＝ 4. r： 烏鴉是白色的 。 求下列復合命題的真值： (1)((┐ p∧q)∨(p∧┐q))→r (2)(q∨r)→(p→┐r) (3)(┐p∨r) ?(p∧┐r) 解： p、 q、 r的真值分別為 0 (1) 1 (2) 1 (3) 0 我們關心的是復合命題中命題之間的真值關系，而不關心命題的內容。 說明 命題公式及其賦值 ?簡單命題是真值唯一確定的命題邏輯中最基本的研究單位，所以也稱簡單命題為 命題常項 或 命題常元 。 (proposition constant) ?稱真值可以變化的陳述句為 命題變項 或 命題變元 (proposition variable)。也用 p,q,r,… 表示命題變項。 ?當 p,q,r,… 表示命題變項時，它們就成了取值 0或 1的變項，因而 命題變項已不是命題 。 ?這樣一來， p,q,r,… 既可以表示命題常項，也可以表示命題變項。在使用中，需要由上下文確定它們表示的是常項還是變項。 ?將命題變項用聯結詞和圓括號按一定的邏輯關系聯結起來的符號串稱為 合式公式 或 命題公式 。 定義 合式公式 ( wff ) (1)單個命題變項是合式公式，并稱為 原子命題公式 。 (2)若 A是合式公式，則 (┐ A)也是合式公式。 (3)若 A， B是合式公式，則 (A∧B) ， (A∨B) ， (A→B) ，(A?B)也是合式公式。 (4)只有有限次地應用 (1)～ (3)形式的符號串才是合式公式。 合式公式也稱為 命題公式
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