[理學(xué)]數(shù)理邏輯__命題邏輯(參考版)
2024-10-19 21:16本頁(yè)面
【正文】 84 基本的蘊(yùn)含式 命題邏輯的基本蘊(yùn)含式 編號(hào) 蘊(yùn) 含 式 I9 P∧ Q?P∧ Q 或表示為： P、 Q?P∧ Q I10 ?P∧ (P∨ Q) ?Q ?P、 (P∨ Q)?Q I11 P∧ (P?Q)?Q P、 P?Q?Q I12 ?Q∧ (P?Q)??P ?Q、 P?Q??P I13 (P?Q)∧ (Q?R)?P?R P?Q、 Q?R?P?R I14 (P∨ Q)∧ (P?R) ∧ (Q?R) ?R P∨ Q、 P?R、 Q?R?R I15 P?Q?(P∨ R)?(Q∨ R) I16 P?Q?(P∧ R)?(Q∧ R) 167。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 83 編號(hào) 蘊(yùn) 含 式 I1 P∧ Q?P I2 P∧ Q?Q I3 P ?P∨ Q I4 Q?P∨ Q I5 ?P ?P?Q I6 Q?P?Q I7 ?(P?Q)?P I8 ?(P?Q)? ?Q 命題邏輯的基本蘊(yùn)含式 167。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 82 蘊(yùn)含式的直觀解釋 : 設(shè) P表示“天下雨”， Q表示“馬路濕”，則 P∧ (P→Q) ? Q ┐Q∧ (P→Q) ? ┐P 設(shè) P表示“今天下雨”， Q表示“今天刮風(fēng)”。 ∴ P∧ (P→Q) ?Q 第二種方法： 設(shè)后件 Q為 F，此時(shí) P有兩種可能： a. 若 P為 T，因設(shè) Q為 F，則 P→Q 為 F，所以 P∧ （ P→Q ）為 F； b. 若 P為 F，則 P∧ （ P→Q ）為 F。 167。 II. 后件假推導(dǎo)前件假方法： 條件式后件為 F，若能推導(dǎo)出前件也為 F。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 ? 1 80 蘊(yùn)含重言式的證明方法： ③ 分析法 包括兩種： I. 前件真推導(dǎo)后真方法 假設(shè)前件 A為 T，若能推導(dǎo)出后件也為真。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 78 蘊(yùn)含重言式的證明方法： ① 真值表法 EX6： 試證， P∧ (P→Q) ?Q 證明：構(gòu)造 P∧ (P→Q)→Q 的真值表 故 P∧ (P→Q) → Q永真，所以 P∧ (P→Q) ?Q，證畢 P Q P?Q P∧ (P→Q) P∧ (P→Q)→Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 167。 ② 充分性： 若 A?B且 B?A 則 A→B 和 B→A 為永真 又 ∵ A?B?(A→B) ∧ (B→A) ∴ A?B為永真式，即 A?B 。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 77 蘊(yùn)含重言式的定理 ? 定理： 設(shè) A和 B是兩個(gè)命題公式， A?B的充要條件是 A?B且B?A。 167。 ③ “A?B”是一個(gè)復(fù)合命題，它可真可假，而 A?B表示的命題公式之間的關(guān)系，而非命題。 注意： A?B與 A?B的區(qū)別 : (類似于 ?與 ?的區(qū)別 ) ? 區(qū)別： ① “?”是命題聯(lián)結(jié)詞。 167。（如果 A1是命題公式的一部分，且 A1本身也是一個(gè)命題公式，則稱 A1為公式 A的子公式） EX4:求證 :(P→Q) ∧ (R→Q) ? (P∨ R)→Q 證： (P→Q) ∧ (R→Q) ? (?P ∨ Q)∧ (R→Q) ? (?P ∨ Q)∧ (?R∨ Q) ?(?P∧ ?R)∨ Q ? ?(P∨ R)∨ Q ? (P∨ R)?Q 167。 如： 在 P→Q ? ?P∨ Q 中， 若用公式 (S∨ R)代替 P，則得到新的等價(jià)公式： (S∨ R)→Q ? ?(S∨ R)∨ Q 167。 類似地 ， ?也是冗余的 聯(lián)結(jié)詞 . 又在 {?, ?, ?}中 ， 由于 p?q??(?p??q)， 所以， ?是冗余的聯(lián)結(jié)詞 . 類似地， ?也是冗余的聯(lián) 結(jié)詞 . 65 定義 設(shè) S是一個(gè)聯(lián)結(jié)詞集合 ， 如果任何 n(n?1) 元 命題公式都可以由僅含 S中的聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的公式表 示 ， 則稱 S是 聯(lián)結(jié)詞 完備集 . 說(shuō)明： 若 S是聯(lián)結(jié)詞全功能集 ， 則任何命題公式都可用 S 中的聯(lián)結(jié)詞表示 . 若 S1, S2是兩個(gè)聯(lián)結(jié)詞集合，且 S1 ? S2. 若 S1是 完備集 ，則 S2也是 完備集 . 66 聯(lián)結(jié)詞的 完備集 實(shí)例 (1) S1={?, ?, ?, ?} (2) S2={?, ?, ?, ?, ?} (3) S3={?, ?} (4) S4={?, ?} (5) S5={?, ?} 而 {?},{ ?}等則不是聯(lián)結(jié)詞 完備集 . 67 等價(jià)公式的代入規(guī)則與替換規(guī)則 ① 代入規(guī)則： 在等價(jià)式中，將某一命題變?cè)?(原子 )出現(xiàn)的 每處 用另一個(gè)命題公式代入所得到的公式仍是等價(jià)式。 ④ 故任意命題公式都可由僅包含 {? 、 ∨ }或 {? 、 ∧ }的命題公式等價(jià)代換。 ② 由 P?Q?? P∨ Q，說(shuō)明包含 “ ?” 的公式可以變換為包含 “ ?” 和 “ ∨ ” 的公式。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 63 命題聯(lián)結(jié)詞的歸約 (完備集 ) ① 由 (P?Q)?(P?Q)∧ (Q?P)。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 61 設(shè) P、 Q、 R是命題變?cè)?， 下表中列出了 24個(gè)最基本的等值式 : 編號(hào) 公 式 E1 E1 E2 E2 E3 E3 E4 E4 E5 E5 E6 E7 E7 P∨ Q?Q∨ P 交換律 P∧ Q?Q∧ P 交換律 (P∨ Q)∨ R ? P∨ (Q∨ R) 結(jié)合律 (P∧ Q)∧ R ?P∧ (Q∧ R) 結(jié)合律 P∧ (Q∨ R) ? (P∧ Q)∨ (P∧ R) 分配律 P∨ (Q∧ R) ? (P∨ Q)∧ (P∨ R) 分配律 P∨ F?P 同一律 P∧ T?P 同一律 P∨ ?P?T 互否律 P∧ ?P?F 互否律 ?（ ?P） ?P 雙重否定律 P∨ P?P 等冪律 P∧ P ?P 等冪律 命題邏輯的基本等式 167。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 60 等價(jià)公式的性質(zhì) ? 自反性：即對(duì)任意公式 A，有 A?A； ? 對(duì)稱性：即對(duì)任意公式 A和 B，若 A?B，則 B?A； ? 傳遞性：即對(duì)任意公式 A和 B， C，若 A?B， B?C,則 A?C。 聯(lián)系： ? A?B當(dāng)且僅當(dāng) A?B是永真式。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 59 注意： “ ?” ， “ ?” 的區(qū)別和聯(lián)系： 區(qū)別： ? （ 1） “ ?” 是命題聯(lián)結(jié)詞， A?B是一個(gè)命題公式，該公式取值可以是真，可以是假。 ? 由上例知： (P?Q)?(┐P∨ Q) 167。 3 等價(jià)重言式和蘊(yùn)含重言式 EX1： 構(gòu)造 P?Q與 ┐P∨ Q的真值表 P Q P?Q ?P ?P∨ Q (P?Q) ? (┐P∨ Q) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1