第3章離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析——傅里葉變換(編輯修改稿)
2024-11-16 13:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 是周期為 N的周期序列，則 ( ) ( )mnND F S W x n X k m?? ????()xn(4)周期卷積和 12( ) ( ) ( )Y k X k X k?若 則有： 111 2 2 100( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )NNmmy n I D F S Y kx m x n m x m x n m?????? ? ? ???記作： 12( ) ( ) * ( )y n x n x n?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 35 兩個(gè)周期序列 N=6序列 和 如圖 (a),(b)所示，求 他們的卷積和 。 ()yn1()xn 2()xn解 : N 0 1 2 N1 N m 1()xmN 0 1 2 N1 N m 2()xmN 0 1 2 N1 N m 2 (0 )xm?N 0 1 2 N1 N m 2 (1 )xm?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 N 0 1 2 N1 N m 2 (2 )xm?N 0 1 2 N1 N m 2 (3 )xm?N 0 1 2 N1 N m 12( ) ( 2 )x m x m?N 0 1 2 N1 N n ()yn( ) ( 2 )x m x m?()yn第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 如果 12( ) ( ) ( )y n x n x n?則 ? ? 111 2 2 10011( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNllY k D F S y n X l X k l X l X k lNN????? ? ? ? ???第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換 (DFT) 設(shè) x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為 N，即 x(n)只在 n=0,1,…N 1有 值，其他值時(shí)， x(n)=0。因此，可以把 x(n)看作周期為 N的 周期序列 的一個(gè)周期，即 ()xn( ) 0 1()0x n n Nxno th e r s? ? ?????也可利用矩形序列表示成為 把 看作有限長(zhǎng)序列 x(n)以 N為周期的周期延拓，表示為 ( ) ( ) ( )Nx n x n R n?()xn( ) ( )rx n x n rN?? ? ????第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 通常我們把 的第一個(gè)周期 n=0,1,…,N 1定義為主值區(qū)間， 稱(chēng) x(n)為 的主值序列。 ()xn()xn為了書(shū)寫(xiě)方便，將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為： ( ) ( ( ) ) Nx n x n?其中， 表示數(shù)學(xué)上“ n對(duì) N取余數(shù)”，或稱(chēng)為“ n對(duì) N取模值。 (( ))Nn例如： ()xn 是周期為 N=8的序列，則有 888( 8 ) ( ( 8 ) ) ( 0 )( 9 ) ( ( 9 1 1 8 ) ) ( 1 )( 4 ) ( ( 4 4 1 8 ) ) ( 4 )x x xx x xx x x??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換的定義： (DFT) 正變換： 反變換： 10( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1NnkNnX k D F T x n x n W k N??? ? ? ??101( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1N nkNnx n I D F T X k X k W n NN???? ? ? ??例 36 已知 ，求 x(n)的 8點(diǎn) DFT和 16點(diǎn) DFT 4( ) ( )x n R n?解： N=8時(shí) 273 2 2 28800 4 8 8 81 ( )( ) ( )1 ()j k j k j kjkj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e? ? ?? ?? ? ? ?????? ? ?????? ? ? ?? ???第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 38s in2s in8jkkek????? 0 , 1 , .. ., 7k ?當(dāng) N=16時(shí) 21 5 3 2 4 4 4161600 8 1 6 1 6 1 61 ( )( ) ( )1 ( )j k j k j k j kj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ?????? ? ? ?????316s in4s in16jkkek????? 0 , 1 , .. ., 1 5k ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 37 已知 ，求 的 N點(diǎn) DFT。 ( ) ( )x n n?? ()xn解： 11000( ) ( ) ( ) 1 , 1 , ..., 1NNnk nkN N NnnX k x n W n W W k N?????? ? ? ? ? ???3. 離散傅里葉變換的性質(zhì) (1)線(xiàn)性 ? ?? ?1122( ) ( )( ) ( )D F T x n X kD F T x n X k??如果序列 和 長(zhǎng)度都為 N，且 1()xn 2()xn則有： ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )D F T a x n b x n a X k b X k? ? ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 (2) 序列的圓周移位性 若設(shè) 是 的圓周移位，即 ()yn ()xn? ?? ? ? ?() NNy n x n m R n??則 ( ) [ ( ) ] ( )mkNY k D F T y n W X k???(3) 圓周卷積和 設(shè)有限長(zhǎng)序列 和 ，長(zhǎng)度分別為 和 ， 1()xn 2()xn 1N 2N12m a x [ , ]N N N? 1()xn和
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