第4章特征值問題和二次型(編輯修改稿)
2024-11-16 13:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1223231?????????????????????pxxxx線性無關(guān)特征向量為得 由于線性無關(guān)特征向量個數(shù)為 2≠3， 因此該矩陣不能對角化 . (4)可對角化矩陣的簡單應(yīng)用 (i)由特征值和特征向量反求矩陣 A: A=PΛ P–1 (ii) 求方陣的冪 : Ak=PΛk P–1 例 3 3階方陣 A有三個不同的特征值 λ1=1,λ2=2, λ3 , 對應(yīng)的特征向量分別為 ,211,212,011321?????????????????????????????????????? ppp.,)2(。,)1(,61 2031 AAAA ?求已知 ??解 ,61 1 ?? ?AA；得 3,612 11)1( 333211 ????? ?????A(2)令 P=(p1, p2, p3) 則 P–1AP=Λ ???????????321.322121101211101121103212201111211?????????? ?????????????????????????????????????????????????PPA???????????????????????????????????????????????2111011211032122011112120202012020PPA.3)32(2)32(2)31(2132132)31(2132132202020202020202020202020202021????????????????????????????????.1010201012. .,4512422421.11????????????????????????????????????????????AAPAPPyxyxA這里為對角陣，使求可逆矩陣求相似與設(shè)矩陣思考練習(xí) (1)實對稱矩陣特征值與特征向量的性質(zhì) 定理 (i)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) 。 (ii)實對稱矩陣 A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交 。 (iii)實對稱矩陣的 每個 特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等 . 定理 (i)實對稱矩陣的特征值都是實數(shù) 。 (ii)實對稱矩 陣 A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交 。(iii)實 對稱矩陣的 每個 特征值的代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)相等 . 證 (ii)設(shè) λ1,λ2為 A的兩個不同特征值 ,?1,?2為對應(yīng)的 特征向量 ,即 A?i= λi? i ( i=1,2) 因 ?2TA?1= ?2Tλ1?1= λ1?2T?1 ?2TA?1= ?2TAT?1= (A?2)T?1= (λ2?2)T?1 =λ2?2T?1 故 λ1?2T?1=λ2?2T?1即 (λ1 λ2 )?2T?1=(λ1 λ2 )[?2,?1]=0， 但 λ1? λ2，因此 [?2,?1]=0，即 ?2與 ?1正交 . (2)實對稱矩陣的對角化 定理 若 A為 n階實對稱矩陣 ,則存在正交矩陣 Q，使 Q–1AQ= QTAQ =Λ 為對角陣 ,Λ的對角線上的元素為 A的 n個特征值 .(證略 ) 用正交矩陣化 A為對角陣的步驟： (i) 由 | λE –A |=0求出 A的全部特征值 λ1, λ2,…, λn。 (ii)對每個 λi ,求方程組 ( λi E– A )x = 0 的基礎(chǔ)解系 即為 A的屬于特征值 λi 的線性無關(guān)特征向量 。 (iii) 將線性無關(guān)特征向量正交化 、 單位化 ， 令 Q=(q1, q2, … , qn) 則 Q為正交矩陣，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ 為對角陣 . 例 1 解 (i) .,1111111111為對角陣，使求一個正交矩陣設(shè)???????????????AAQAT；的特征值得 3,0 321 ??? ???A),3(1111111112 ????????????? ?????? AE由.0)0(032 ???? xAE時，解當(dāng) ??????????????????????????????????0000001111111111110 AE由(ii) 。101,011,21321?????????? ???????????? ???????線性無關(guān)特征向量為得 xxx.0)3(33 ??? xAE時，解當(dāng) ????????????????????????????????0001101012111211123 AE由。111, 33231?????????????????線性無關(guān)特征向量為得xxxx(iii) 正交化、單位化 ,01111?????????? ??? ??取.2112101121101],[],[331111222 ????????? ???????????????????????? ???????????? ???? ；.313131,626161,02121333222111?????????????????????????????????????????????????????????????????????qqq令 Q=(q1, q2, q3) 則 Q為正交矩陣，且使 Q–1 AQ= QT AQ =Λ 為對角陣 . ????????????????????31620316121316121.300???????????① 實對稱矩陣 A的重特征值對應(yīng)的正交特征向量組的取法不唯一 ， 故 Q不唯一； ② 由于實對稱矩陣 A的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交 ，故只須對屬于同一特征值的線性無關(guān)的向量正交化即可 . 思考練習(xí) .,0202120221為對角矩陣使正交矩陣求已知實對稱矩陣??????????????????AQA第 二次型簡介 二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線或 二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形問題 . 這里 首先介紹一些 基本概念，然后討論如何利用可逆線性變換把一 個二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形 . 最后討論一類特殊的二次 型 ——正定二次型 . ? 基本概念 ? 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法 ? 正定二次型 返回 的二次齊次函數(shù)個變量含有 nxxxn , 21 ?稱為 n元二次型，簡稱 二次型 . 稱為 二次型的系數(shù) . (1)二次型定義 ),2,1,( njia ij ??22232232222113113211221112122222),(nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf?????????????????
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