第7章導數(shù)與微分的matlab求解(編輯修改稿)
2025-11-16 13:31 本頁面
【文章內容簡介】 具有 直到 階的導數(shù)，則對任一 ，有 其中 這里 是 與 之間的某個值。 多項式 稱為函數(shù) 按 的 冪展開的 次 泰勒多項式，上述公式 稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項 的 階泰勒公式，而 稱為 拉格朗日型余項。 函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性 1 函數(shù)單調性的判定法 設函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內 可導， 在 上任取兩 點 ， 應用拉格朗日中值定理，得到 由于 ，因此，如果 在 內導數(shù) 保持正號， 即 ，那么也 有 。 于是 即 表明 函數(shù) 在 上 單調增加。同理，如果 在 內導數(shù) 保持 負號， 即 ，那么也 有 。于是 ， 即 ， 表明 函數(shù) 在 上 單調減少 。 歸納 以上討論，即得以下定理：設 函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內 可導， ? 如果在 內 ， 那么 函數(shù) 在 上 單調增加； ? 如果在 內 ， 那么 函數(shù) 在 上單調減少。 拐點 我們 從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點，則聯(lián)結這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有的曲線弧，則正好相反。曲線的這種性質就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結曲線弧上任意兩點的弦的中點與曲線弧上相應點（即具有相同橫坐標的點）的位置關系來描述，下面給出曲線凹凸性的定義。 設 在區(qū)間 上 連續(xù)，如果對 上 任意兩點 ， 恒 有 那么稱 在 上 的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒 有 那么 稱 在 上 的圖形是（向上）凸的（或凸弧） 。 如果 函數(shù) 在區(qū)間 內具有二階導數(shù)，那么可以利用二階導數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。這里僅 就 為閉區(qū)間的情形來敘述曲線凹凸性的判定定理， 當 不是閉區(qū)間時，定理類同。 設 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內具有一階和二階導數(shù)，那么 ? 若在 內 ，則 在 上的 圖形是凹的； ? 若在 內 ， 則 在 上 的圖形是凸的。 一般 的， 設 在 區(qū)間 上連續(xù) ， 是 的 內點，如果 曲線 在 經(jīng)過 點 時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點 為 曲線的拐點。 函數(shù)的極值與最 值 法 設函數(shù) 在 點 的某 鄰域 內有定義，如果對于去心 鄰域 內的 任一 ， 有 那么就 稱 是 函數(shù) 的一個極大值（或極小值）。 函數(shù) 的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。下面給出可導函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件： 必要條件： 設 函數(shù) 在 點 處 可導，且在 處 取得極值， 那么 。 第一充分條件： 設函數(shù) 在點 處 連續(xù)，且 在 的某去心 鄰域 內 可導， 若 時， ， 而在 時， ，則 在 點 處 取得極大值； 若 時 ， ， 而在 時 ， ，則 在點 處 取得極小值； 若 時， 的 符號保持不變， 則 在 處 沒有極值 。 第二充分條件： 設函數(shù) 在點 處 具有二階導數(shù)， 且 ， ， 那么 當 時， 函數(shù) 在 處 取得極大值； 當 時 ， 函數(shù) 在 處 取得極小值。 問題 在 求函數(shù)的最大值（或最小值）時，特別值得指出的是下述 情： 在 一個區(qū)間（有限或無限、開或閉）內可導且只有一個駐點，并且這個 駐點 是函數(shù) 的極值點，那么，當 是 極大值時 ， 就是 在 該區(qū)間上的最大值；當 是 極小值時 ， 就是 在該區(qū)間上的最小值。 曲線的 漸近線 如果 存在 直線 ，使得當 時 ， 曲線 上 的動 點 到直線 的 距離 ，則 稱 為曲線 的 漸近線 。 漸近線 通常有
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1