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正文內(nèi)容

第7章導(dǎo)數(shù)與微分的matlab求解(編輯修改稿)

2024-11-16 13:31 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 具有 直到 階的導(dǎo)數(shù),則對(duì)任一 ,有 其中 這里 是 與 之間的某個(gè)值。 多項(xiàng)式 稱為函數(shù) 按 的 冪展開的 次 泰勒多項(xiàng)式,上述公式 稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng) 的 階泰勒公式,而 稱為 拉格朗日型余項(xiàng)。 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 1 函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù),在 內(nèi) 可導(dǎo), 在 上任取兩 點(diǎn) , 應(yīng)用拉格朗日中值定理,得到 由于 ,因此,如果 在 內(nèi)導(dǎo)數(shù) 保持正號(hào), 即 ,那么也 有 。 于是 即 表明 函數(shù) 在 上 單調(diào)增加。同理,如果 在 內(nèi)導(dǎo)數(shù) 保持 負(fù)號(hào), 即 ,那么也 有 。于是 , 即 , 表明 函數(shù) 在 上 單調(diào)減少 。 歸納 以上討論,即得以下定理:設(shè) 函數(shù) 在 上連續(xù),在 內(nèi) 可導(dǎo), ? 如果在 內(nèi) , 那么 函數(shù) 在 上 單調(diào)增加; ? 如果在 內(nèi) , 那么 函數(shù) 在 上單調(diào)減少。 拐點(diǎn) 我們 從幾何上可以看到,在有的曲線弧上,如果任取兩點(diǎn),則聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方,而有的曲線弧,則正好相反。曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)點(diǎn)(即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn))的位置關(guān)系來描述,下面給出曲線凹凸性的定義。 設(shè) 在區(qū)間 上 連續(xù),如果對(duì) 上 任意兩點(diǎn) , 恒 有 那么稱 在 上 的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒 有 那么 稱 在 上 的圖形是(向上)凸的(或凸弧) 。 如果 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定曲線的凹凸性,這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。這里僅 就 為閉區(qū)間的情形來敘述曲線凹凸性的判定定理, 當(dāng) 不是閉區(qū)間時(shí),定理類同。 設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù), 在 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么 ? 若在 內(nèi) ,則 在 上的 圖形是凹的; ? 若在 內(nèi) , 則 在 上 的圖形是凸的。 一般 的, 設(shè) 在 區(qū)間 上連續(xù) , 是 的 內(nèi)點(diǎn),如果 曲線 在 經(jīng)過 點(diǎn) 時(shí),曲線的凹凸性改變了,那么就稱點(diǎn) 為 曲線的拐點(diǎn)。 函數(shù)的極值與最 值 法 設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn) 的某 鄰域 內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心 鄰域 內(nèi)的 任一 , 有 那么就 稱 是 函數(shù) 的一個(gè)極大值(或極小值)。 函數(shù) 的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。下面給出可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件: 必要條件: 設(shè) 函數(shù) 在 點(diǎn) 處 可導(dǎo),且在 處 取得極值, 那么 。 第一充分條件: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處 連續(xù),且 在 的某去心 鄰域 內(nèi) 可導(dǎo), 若 時(shí), , 而在 時(shí), ,則 在 點(diǎn) 處 取得極大值; 若 時(shí) , , 而在 時(shí) , ,則 在點(diǎn) 處 取得極小值; 若 時(shí), 的 符號(hào)保持不變, 則 在 處 沒有極值 。 第二充分條件: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處 具有二階導(dǎo)數(shù), 且 , , 那么 當(dāng) 時(shí), 函數(shù) 在 處 取得極大值; 當(dāng) 時(shí) , 函數(shù) 在 處 取得極小值。 問題 在 求函數(shù)的最大值(或最小值)時(shí),特別值得指出的是下述 情: 在 一個(gè)區(qū)間(有限或無限、開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn),并且這個(gè) 駐點(diǎn) 是函數(shù) 的極值點(diǎn),那么,當(dāng) 是 極大值時(shí) , 就是 在 該區(qū)間上的最大值;當(dāng) 是 極小值時(shí) , 就是 在該區(qū)間上的最小值。 曲線的 漸近線 如果 存在 直線 ,使得當(dāng) 時(shí) , 曲線 上 的動(dòng) 點(diǎn) 到直線 的 距離 ,則 稱 為曲線 的 漸近線 。 漸近線 通常有
點(diǎn)擊復(fù)制文檔內(nèi)容
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