第7章導(dǎo)數(shù)與微分的matlab求解-在線瀏覽
2024-12-14 13:31本頁面
【正文】 在 幾何上表示 曲線 在 點 處 的切線的斜率，即 其中 是 切線的傾角。 導(dǎo)數(shù)的 MATLAB符號求解 高階導(dǎo)數(shù) MATLAB符號工具箱中提供了函數(shù) diff來求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及高階導(dǎo)數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下 ： D=diff(fx,x,n) 運行結(jié)果如圖所示。例如， 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時 ， ，等等，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。 隱函數(shù) 求導(dǎo)的一般采用如下步驟： ? 方程兩邊同時 對 求導(dǎo) ，這里應(yīng) 注意 ； ? 整理求得 的 表達(dá)式，即為隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 。設(shè) 函數(shù) 在點 可 微，則 由 兩邊 同時除 以 ， 得 于是 ， 當(dāng) 時 ，由上式就可 得到 因此 ，如果 函數(shù) 在點 可 微， 則 在點 也 一定可導(dǎo)（ 即 存在 ）， 且 反之 ，如果 在 點 可 導(dǎo)， 即 存在 ，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫 成 其中 ， 由此又 有 因 ，且 不 依賴 于 ， 故 所以函數(shù) 在 點 也 是可微的。于是， 函數(shù) 的 微分又可記 作 從而有 ，這就是說，函數(shù)的 微分 與 自變量的微分 之 商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 意義 在 直角坐標(biāo)系中， 函數(shù) 的 圖形是一條曲線。 微分 的幾何意義 微分 中值定理 1. 羅爾定理 為 更好地理解羅爾定理，先介紹費馬引理：設(shè) 函數(shù) 在 點 的某 鄰域 內(nèi)有定義，并且 在 處可導(dǎo)，如果對任意 的 ， 有 那么 。 那么在 內(nèi) 至少有 一點 ，使得 。 圖 羅 爾定理圖形直觀表示 羅 爾定理 中 這個 條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制。 如果函數(shù) 滿足 ： ? 在 閉區(qū)間 上 連續(xù)； ? 在 開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)； 那么在 內(nèi) 至少有 一點 ， 使 得 成立 。由于上式可以改寫 為 且 為弦 的斜率， 而 為 曲線在 點 處 的切線的斜率。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形 。設(shè) 由參數(shù)方程 表示，如圖所示。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記 為 或 。Hospital）則求解，本小節(jié)先 介紹 和 時的 型 未定式的求解方法 。 多項式 稱為函數(shù) 按 的 冪展開的 次 泰勒多項式，上述公式 稱為 按 的冪展開的帶有拉格朗日型余項 的 階泰勒公式，而 稱為 拉格朗日型余項。 于是 即 表明 函數(shù) 在 上 單調(diào)增加。于是 ， 即 ， 表明 函數(shù) 在 上 單調(diào)減少 。 拐點 我們 從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點，則聯(lián)結(jié)這兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方，而有的曲線弧，則正好相反。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線弧上任意兩點的弦的中點與曲線弧上相應(yīng)點（即具有相同橫坐標(biāo)的點）的位置關(guān)系來描述，下面給出曲線凹凸性的定義。 如果 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。 設(shè) 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么 ? 若在 內(nèi) ，則 在 上的 圖形是凹的； ? 若在 內(nèi) ， 則 在 上 的圖形是凸的。 函數(shù)的極值與最 值 法 設(shè)函數(shù) 在 點 的某 鄰域 內(nèi)有定義，如果對于去心 鄰域 內(nèi)的 任一 ， 有 那么就 稱 是 函數(shù) 的一個極大值（或極小值）。下面給出可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件： 必要條件： 設(shè) 函數(shù) 在 點 處 可導(dǎo)，且在 處 取得極值，
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