【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Σ(xi x)2 σ t 檢定 ?由於 σ值未知，所以用 s值來(lái)估計(jì) σ，再求出 σb1的估計(jì)值，記作 sb1。 ?b1的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 sb1 = Σ(xi x)2 s 利用 t 檢定檢驗(yàn)簡(jiǎn)單線性迴歸的顯著性 H0： β1 =0 Ha： β1≠0 檢定統(tǒng)計(jì)量 t = 拒絕法則 P值法：若 p≦ α，則拒絕 H0 臨界值法：若 t ≦ tα/2或 t ≧ tα/2 ，則拒絕 H0 其中， tα/2係依自由度 n2之 t分配求得 b1 sb1 ?檢定亞曼披薩屋的變數(shù)間是否有顯著關(guān)係 ： 顯著水準(zhǔn)是 α=，雙尾檢定 檢定統(tǒng)計(jì)量 t = = = → 由 t分配表可得，自由度為 n2=8時(shí)， t值為 。 → 由於此檢定為雙尾檢定 ，我們將此值加倍後，可知與 t= p *2= →reject H0 β1≠0 ，學(xué)生人數(shù)與銷(xiāo)售額存在顯著的關(guān)係 b1 sb1 5 β1的信賴(lài)區(qū)間 ?β1的信賴(lài)區(qū)間形式如下： b1 177。 tα/2 sb1 ?若要對(duì)亞曼披薩屋的 β1建立 99%的信賴(lài)區(qū)間，查表可得，對(duì)應(yīng)於 α= n2=8的自由度，t = → β 1的 99%信賴(lài)區(qū)間估計(jì)值是 b1 177。 tα/2 sb1 =5 177。 ()=5 177。 或 β1的信賴(lài)區(qū)間 ?以 t 檢定做顯著性檢定時(shí)，檢定的假設(shè)是： H0： β1 =0 Ha： β1≠0 → 在 α=，由於 β1的假設(shè)值為0，並不在信賴(lài)區(qū)間 ，因此拒絕虛無(wú)假設(shè) H0。 → 學(xué)生人數(shù)與銷(xiāo)售額間有統(tǒng)計(jì)上的顯著關(guān)係。 F 檢定 ?如果只有一個(gè)自變數(shù)，在檢定迴歸關(guān)係顯著性時(shí)， F檢定與 t檢定的結(jié)論相同。 ?但是如果有一個(gè)以上的自變數(shù)時(shí)， 只有 F檢定可以測(cè)試全體自變數(shù)與應(yīng)變數(shù)間的顯著關(guān)係。 ?使用 F檢定決定迴歸關(guān)係是否有顯著性所根據(jù)的邏輯是由兩個(gè)互相獨(dú)立的 σ2估計(jì)值發(fā)展而得。 F 檢定 ?σ2的兩個(gè)估計(jì)值 (1)誤差均方 MSE= (2)若 H0： β1 =0為真 迴歸均方 MSR= = SSR 迴歸自由度 自變數(shù)個(gè)數(shù) SSR SSE n 2 利用 F 檢定檢驗(yàn)簡(jiǎn)單線性迴歸的顯著性 H0： β1 =0 Ha： β1≠0 檢定統(tǒng)計(jì)量 F = 拒絕法則 P值法：若 p≦ α，則拒絕 H0 臨界值法：若 F≧ Fα ，則拒絕 H0 其中， Fα係依分子自由度為 1，分母自由度為 n2之 F分配求得 MSR MSE 簡(jiǎn)單線性迴歸的 ANOVA表的一般形式 變異來(lái)源 自由度 均方 平方和 F 迴歸項(xiàng) 誤差項(xiàng) 總和 SSR SSE SST 1 n 1 n 2 MSR= SSR 1 MSE= SSE n 2 MSR MSE F= ?以亞曼披薩屋為例進(jìn)行 F檢定： 檢定統(tǒng)計(jì)量 → 根據(jù) F分配表，分子自由度為 1，分母自由度為 n2=8時(shí)， F= 。 → F= →P ＜ =α Reject H0 學(xué)生人數(shù)與銷(xiāo)售額間存在顯著關(guān)係 MSR MSE F = = 14200 = 亞曼的披薩屋的 ANOVA表 變異來(lái)源 自由度 均方 平方和 F 迴歸項(xiàng) 誤差項(xiàng) 總和 14200 1530 15730 1 9 8 14200 1 =14200 1530 8 14200 = = 解釋顯著性檢定時(shí)的注意事項(xiàng) ?拒絕 H0： β1 =0並得到 x和 y存在顯著關(guān)係的結(jié)論，並不等於認(rèn)定 x與 y間有因果關(guān)係。 ?拒絕 H0： β1 =0並證明存在統(tǒng)計(jì)顯著性，並不能認(rèn)定 x與 y有線性關(guān)係，僅能說(shuō) x與 y有相互關(guān)係。 ?當(dāng)顯著關(guān)係已知時(shí)，樣本中觀察到的 x範(fàn)圍可以放心地用估計(jì)迴歸方程式做預(yù)測(cè)。但超過(guò)此自變數(shù)範(fàn)圍進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)該非常小心。 非線性關(guān)係之線性近似的例子 x y y = b0+ b1x ^ 實(shí)際關(guān)係 x之 最小值 x之 最大值 可觀察到的 x範(fàn)圍 ? 運(yùn)用最小平方法，我們獲得估計(jì)的簡(jiǎn)單線性迴歸方程式。 ? 若結(jié)果顯示 x與 y間在統(tǒng)計(jì)上有顯著關(guān)係，而且估計(jì)迴歸方程式的適合度甚佳，則利用此估計(jì)迴歸方程式應(yīng)該有助於進(jìn)行估計(jì)與預(yù)測(cè)。 點(diǎn)估計(jì) ?在披薩屋一例中 ,估計(jì)迴歸方程式 y=60+5x是學(xué)生人數(shù) x與每季銷(xiāo)售額 y間關(guān)係的估計(jì)。利用此估計(jì)迴歸方程式來(lái)求算特定 x值所對(duì)應(yīng) y的平均數(shù)之點(diǎn)估計(jì)值或者預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)已知 x值之單獨(dú) y值。 ?因此，對(duì)所有鄰近學(xué)生人數(shù)為 10,000人 (x= 10)之校園的餐廳而言，平均每季銷(xiāo)售額的點(diǎn)估計(jì)為 y=60+5 (10) =110，即 $110,000。 ? ? 區(qū)間估計(jì) ? 第一種型態(tài)的區(qū)間估計(jì)，信賴(lài)區(qū)間(confidence interval)，係對(duì)一已知 x值所對(duì)應(yīng)之 y平均數(shù)做區(qū)間估計(jì)。 ?第二種型態(tài)的區(qū)間估計(jì)，預(yù)測(cè)區(qū)間(prediction interval)，則用於對(duì)一已知 x值所對(duì)應(yīng)之個(gè)別 y值做區(qū)間估計(jì)。 xp=自變數(shù) x的特定值或已知值 yp=對(duì)應(yīng)於已知 xp值的應(yīng)變數(shù) y值 E(yp)=對(duì)應(yīng)於已知 xp值的應(yīng)變數(shù) y值的平均數(shù)或期望值 yp= b0+ b1 xp=E(yp)的點(diǎn)估計(jì)值，當(dāng) x=xp Y之平均數(shù)的信賴(lài)區(qū)間估計(jì) ? 通常，我們不能期望 yp恰等於 E(yp)。如果希望推論有關(guān) yp與實(shí)際每季平均銷(xiāo)售額 E(yp)的接近程度，則必須估計(jì) yp的變異數(shù)。 ? ? ? Syp=s2[ + ] ? 1 n ( xP – x )2 Σ ( xi – x )2 2 () () Syp=s + ? 1 n (xP x)2 Σ (xi x)2 再給定的 xp下，估計(jì) yp之變異數(shù)時(shí)的公式，記作Syp ，表示如下。 2 ? ? Yp標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為式 ()的平方根，公式如下。 ? = .1282 = Syp= + ? 1 10 (1014)2 568 s=