chapter14simplelinearregression-文庫(kù)吧資料
2024-10-07 22:06本頁(yè)面
【正文】 變數(shù)間的顯著關(guān)係。 → 學(xué)生人數(shù)與銷(xiāo)售額間有統(tǒng)計(jì)上的顯著關(guān)係。 ()=5 177。 tα/2 sb1 ?若要對(duì)亞曼披薩屋的 β1建立 99%的信賴區(qū)間，查表可得，對(duì)應(yīng)於 α= n2=8的自由度，t = → β 1的 99%信賴區(qū)間估計(jì)值是 b1 177。 ?b1的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 sb1 = Σ(xi x)2 s 利用 t 檢定檢驗(yàn)簡(jiǎn)單線性迴歸的顯著性 H0： β1 =0 Ha： β1≠0 檢定統(tǒng)計(jì)量 t = 拒絕法則 P值法：若 p≦ α，則拒絕 H0 臨界值法：若 t ≦ tα/2或 t ≧ tα/2 ，則拒絕 H0 其中， tα/2係依自由度 n2之 t分配求得 b1 sb1 ?檢定亞曼披薩屋的變數(shù)間是否有顯著關(guān)係 ： 顯著水準(zhǔn)是 α=，雙尾檢定 檢定統(tǒng)計(jì)量 t = = = → 由 t分配表可得，自由度為 n2=8時(shí)， t值為 。 t 檢定的目的就在確認(rèn)是否可獲得 β1≠0的結(jié)論。 → 為檢定是否存在顯著的迴歸關(guān)係，必須進(jìn)行 β1是否為 0的假設(shè)檢定 σ2 的估計(jì)值 ?SSE =Σ(yi yi)2 =Σ(yi b0 b1xi)2 ?誤差均方 (σ2 的估計(jì)值 ) s2 = MSE = → 這是 σ2的不偏估計(jì)值 ^ SSE n 2 σ2 的估計(jì)值 ?為了估計(jì) σ，我們?nèi)?s2的平方根，算出的 s 值稱(chēng)為估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤。而不管 x值為何， ε與 y之機(jī)率分配均為具相同變異數(shù)的常態(tài)分配 ?在特定點(diǎn)的誤差項(xiàng) ε之值，視 y的實(shí)際值大於或小於 E(y)而定 顯著性檢定 ?E(y)=β0+β1x → 若 β1=0， y的平均數(shù)與 x無(wú)關(guān)，則 x與 y不 存在線性相關(guān)。 ?以 Blackman’s breakfast為例 ?假定資料來(lái)自 10間鄰近中小學(xué)校園的分店 xi是學(xué)生人數(shù) (單位：千人 ) yi為每季銷(xiāo)售額 (單位：＄ 1000) 教材 Figure Scatter Diagram of Blackman’s breakfast散佈圖 學(xué)生人數(shù) (千人 ) 每季銷(xiāo)售額 (＄ 1000) 2 6 10 14 18 22 26 0 20 60 100 140 180 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Least Squares Method 最小平方法 ?對(duì)第 i個(gè)餐廳而言，估計(jì)迴歸方程式為： yi = bo + b1xi 其中 yi =第 i間早餐店每季銷(xiāo)售額的估計(jì)值 (＄ 1000) bo= 估計(jì)回歸線之 y截距 b1=估計(jì)回歸線之斜率 xi =第 i間早餐店鄰近校園的學(xué)生人數(shù) (千人 ) ^ Least Squares Method 最小平方法 ?Least Squares Criterion minΣ( yi yi)2 其中 yi=應(yīng)變數(shù)之第 i個(gè)觀察值的實(shí)際值 yi =應(yīng)變數(shù)之第 i個(gè)觀察值的估計(jì)值 ^ ^ Least Squares Method 最小平方法 ?估計(jì)迴歸方程式的斜率與 y截距 xi(yi) =自 (應(yīng) )變數(shù)的第 i個(gè)觀察值 x(y) =自 (應(yīng) )變數(shù)的平均數(shù) n =觀察值的個(gè)數(shù) Σ(xix)(yiy) Σ(xix)2 Σxiyi(ΣxiΣyi)/n Σxi2(Σxi)2/n b1= or = bo= y b1x 其中 Least Squares Method 最小平方法 ?求算 Blackman’s breakfast的最小平方估計(jì)迴歸方程式 ： x = = 14 y = =130 b1= = = 5 bo= y b1x = 130 5(14) = 60 → y = 60 + 5x Σxi n Σyi n Σ(xix)(yiy) Σ(xix)2 2840 568 ^ Figure Graph of the estimated regression equation for Blackman’s breakfast 學(xué)生人數(shù) (千人 ) 每季銷(xiāo)售額 (＄ 1000) 2 6 10 14 18 22 26 0 20 60 100 140 180 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y = 60 + 5x ^ 判定係數(shù) (coefficient of determination) ?判定係數(shù) :作為估計(jì)迴歸方程式之適合度的衡量指標(biāo) ?第 i個(gè)殘差 (i th ) :應(yīng)變數(shù)之觀測(cè)值 yi與估計(jì)值 yi間的差距，殘差為 yiyi ?誤差平方和 (sum of squares due to error):殘差值之平方和 是最小平方法中欲使其最小的數(shù)值，記為 SSE SSE=Σ(yiyi)2 ^ ^ ^ ?總平方和 (total sum of squares， SST):使用樣本平均數(shù)估計(jì)樣本中的誤差項(xiàng)平方和 SST=Σ(yiyi)2 ?迴歸平方和 (sum of squares due to regression， SSR):為衡量迴歸線上 y與 y的差距所計(jì)算的平方值 SSR=Σ(yiyi)2 ?以上三個(gè)平方和間的關(guān)係是統(tǒng)計(jì)上的重要結(jié)果 : SST=SSR+SSE ^ ^ ?以之前的亞曼披薩屋為例，計(jì)算出 10間餐廳的 SSE=1530， SST=15730，可得出SSR為 157301530=14200 ?若每個(gè)應(yīng)變數(shù)都剛好在估計(jì)迴歸線上，估計(jì)迴歸方程式將提供完美的配適 此時(shí)，每個(gè) yiyi=0，使 SSE=0 ?由此可知，完美的配適 : =SST ^ ?SSR/SST的值會(huì)介於 0到 1之間 評(píng)估迴歸方程式的適合度，此比例稱(chēng)“判定係數(shù)”，以 r2表示 r2=SSR/SST ?就亞曼的例子而言，其判定係數(shù)為14200/15730= 結(jié)論 :以估計(jì)迴歸方程式 y=60+5x預(yù)估銷(xiāo)售額時(shí)，可解釋總平方和的 %
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