【正文】 亞曼披薩屋之估計(jì)迴歸線與 y = y 線的差距 學(xué)生人數(shù) (千人 ) 每季銷售額 (＄ 1000) 2 6 10 14 18 22 26 0 20 60 100 140 180 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● y = 60 + 5x ^ y = y = 130 y10 y ^ y10 – y10 ^ y10 – y 相關(guān)係數(shù) (correlation coefficient) ?相關(guān)係數(shù)可用來(lái)衡量 x與 y變數(shù)間線性的強(qiáng)度 ?必介於 1與 +1之間 ?樣本相關(guān)係數(shù) : rxy=(sign of b1) coefficient of determination =(sign of b1) r2 其中， b1=估計(jì)迴歸方程式 y =b0+b1x之斜率 ^ ?若方程式是正斜率 (b10)，則樣本相關(guān)係數(shù)符號(hào)亦為正；反之亦然 ?承亞曼屋之例，該方程式之判定係數(shù)為，可得其樣本相關(guān)係數(shù)為 + =+ 結(jié)論 :x與 y存在高度線性正相關(guān) ?判定係數(shù)的應(yīng)用較樣本相關(guān)係數(shù)廣泛，是由於樣本相關(guān)係數(shù)只解釋兩變數(shù)間線性關(guān)係，但判定係數(shù)可解釋非線性關(guān)係或兩個(gè)以上獨(dú)立變數(shù)的關(guān)係 模型假設(shè) ?在進(jìn)行迴歸分析時(shí)，我們是先假設(shè)自變數(shù)與應(yīng)變數(shù)間的關(guān)係適合此模型 ?檢定關(guān)係的顯著性是決定假設(shè)模型是否合適的一個(gè)重要步驟 ?迴歸分析中的顯著性檢定是根據(jù)下列有關(guān)誤差項(xiàng) ε的假設(shè)而來(lái)的 : ?關(guān)於迴歸模型分析中誤差項(xiàng) ε的相關(guān)假設(shè) : y=β0+β1x+ε ε為平均數(shù)或期望值為 0的隨機(jī)變數(shù)；即 E(ε)=0 既然 β0與 β1為常數(shù)， E(β0)=β0且 E(β1)=β1，因此，對(duì)已知的 x值， y值之期望值為 E(y) =β0+β1x x值而言， ε之變異數(shù) (表示為 σ2)均相同 對(duì)特定 x值所對(duì)應(yīng)的 y值，變異數(shù)等於σ2。 ?計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量 (以 bo 和 b1表示 )作為參數(shù)β o和 β 1的估計(jì)值。每個(gè) y分配都有自己的平均數(shù)或期望值 E(y)。 ?例：某個(gè)次母體是由座落在學(xué)生人數(shù) 3000人學(xué)校旁的 Blackman’s breakfast 連鎖早餐店所構(gòu)成。 ?每間分店有其 x值 (學(xué)生人數(shù) )及其對(duì)應(yīng)之 y值 (每季銷售額 )，描述此 y與 x及誤差項(xiàng)關(guān)係之方程式，稱為迴歸模型 (regression model)。 ?管理者相信，早餐店的每季銷售額 (y)與學(xué)生人口 (x)有正向的關(guān)係。 ?Blackman’s breakfast 是一家在 12個(gè)縣市均有連鎖的早餐店。 ?簡(jiǎn)單線性迴歸 (simple linear regression) : 僅牽涉到單一自變數(shù)與單一應(yīng)變數(shù)，而且兩變數(shù)間的關(guān)係近似一條直線。 ?例：分析廣告費(fèi)用對(duì)銷售額的影響，以銷售額為應(yīng)變數(shù) (y) ，廣告費(fèi)用則是用來(lái)預(yù)測(cè)銷售額的自變數(shù) (x)。Chapter 14 Simple Linear Regression Regression terminology ?應(yīng)變數(shù) (dependent variable): the variable being predicted 被預(yù)測(cè)的變數(shù)。 ?自變數(shù) (independent variable): the variable being used to predict the value of the dependent variable 用來(lái)預(yù)測(cè)應(yīng)變數(shù)的變數(shù)。 Regression terminology ?迴歸分析 (regression analysis): 用來(lái)發(fā)展描述兩變數(shù)間關(guān)係之方程式。 ?複迴歸分析 (multiple regression analysis ): 牽涉兩個(gè)以上自變數(shù)的迴歸分析。其最成功的據(jù)點(diǎn)均鄰近中小學(xué)校園。換言之，鄰近學(xué)生人數(shù)多的校園分店比起學(xué)生人數(shù)少的校園分店應(yīng)有更高的銷售量。 教材 Simple Linear Regression Model Back Simple Linear Regression Model y = βo + β1x + ε 應(yīng)變數(shù) 常數(shù) 係數(shù) x 自變數(shù) 誤差項(xiàng) Simple Linear Regression Equation ?Blackman’s breakfast 所有連鎖早餐店構(gòu)成的母體可以視為是針對(duì)某個(gè)特定的 x值 (學(xué)生人數(shù) )而形成的次母體。對(duì)於這個(gè)次母體之銷售額 y會(huì)有一個(gè) y的分配。 Simple Linear Regression Equation E(y) = βo + β1x Figure Possible regression lines E(y) x E(y) x E(y) x 正線性關(guān)係 負(fù)線性關(guān)係 無(wú)關(guān)係 β0 β0 β0 Slope β1＞ 0 Slope β1＜ 0 Slope β1=0 Estimated Simple Linear Regression Equation ?參數(shù) β o和 β 1未知時(shí)，使用樣本資料進(jìn)行估計(jì) 。 y = bo + b1x ^ Figure 簡(jiǎn)單線性迴歸的估計(jì)過(guò)程 Regression Model y = βo + β1x + ε Regression Equation E(y) = βo + β1x Unknown Parameters βo ,β1 Sample Data: x y x1 y1 x2 y2 ? ? ? ? xn yn bo and b1 provide estimates of βo and β1 Estimated Regression Equation y = bo + b1x Sample Statistics bo, b1 ^ Least Squares Method 最小平方法 ?最小平方法是利用樣本資料算出估計(jì)迴歸方程式的一種程序。 且對(duì)所有 x值而言，此值均相同 3. ε值是互相獨(dú)立的 特定 x值之 ε與其他 x值之 ε是不相關(guān)的，因此特定 x值對(duì)應(yīng)之 y值亦與任何其他 x值對(duì)應(yīng)之 y值無(wú)關(guān) ε為來(lái)自常態(tài)分配的隨機(jī)變數(shù) 因 y為 ε之線性函數(shù)，故 y亦為來(lái)自常態(tài)分配的隨機(jī)變數(shù) 迴歸模型的假設(shè) x= 0 x=10 x=20 x=30 x β0 E(y) =β0+β1