【正文】 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 120 20 40 60 80 100 140 160 180 200 220 ? ? 每季銷售額 ($1,000) 信賴 區(qū)間 上下限 學生人數(shù) (千人 ) 當 xp=x時，兩種 區(qū)間之寬度為最窄 預測區(qū)間上下限 預測區(qū)間更寬 殘差分析 :驗證模型假設 ?殘差分析可幫助判定迴歸分析所作假設是否適當 ?第 i個觀察值的殘差 : yiyi ,其中 yi是應變數(shù)的第 i個觀察值 , yi是應變數(shù)的第 i個估計值 ?也就是說 ,第 i個殘差值即是使用估計方程式預測 yi值所產(chǎn)生的誤差 ^ ^ ?決定 x與 y間的關係是否顯著之 t檢定與 F檢定 ,及信賴區(qū)間與預測區(qū)間估計都是以下列假設為基礎 : (ε)=0 2. ε之變異數(shù) ,表示為 σ2,對所有 x值均相同 3. ε值互相獨立 ε服從常態(tài)分配 ?殘差分析多圖形檢查為基礎 ?以下為本次將會討論的殘差圖 : x的殘差圖 y預測值的殘差圖 ^ 對應 x值的殘差圖 ?以自變數(shù) x為橫軸 ,對應的殘差值為縱軸的圖 ?以下為三個迴歸研究的殘差圖 : 0 殘差 圖 A y y ^ 良好模式 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x 0 殘差 圖 B y y ^ 變異數(shù)不為常數(shù) ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x ● ● 0 殘差 圖 C y y ^ 迴歸模式不適當 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x ● ● ?對所有的 x值而言， ε之變異數(shù)均相等的假設成立且此迴歸模型可充分表達兩變數(shù)間的關係，則殘差圖呈現(xiàn)類似水平帶狀的圖形，即圖 (A) ?對所有的 x值而言， ε之變異數(shù)不完全相同 (如x值較大，對迴歸線的變異較大 ) ，此時 ε的變異數(shù)固定的假設不成立，如圖 (B) 或圖 (C) ，可得結論為 :假設的模型不適合表示變數(shù)間的關係 ?考慮使用曲線迴規(guī)模型或複迴歸模型 ?披薩屋範例 對應自變數(shù) x的殘差圖 0 殘差 y y ^ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x 2 8 6 4 26 24 22 20 18 16 14 12 10 20 10 +20 +10 對應 y值的殘差圖 ?對簡單線性迴歸而言，對應 y的殘差圖與對應 x的殘差圖提供相同的訊息。且實驗已證明樣本大小為 10的隨機樣本，其一階統(tǒng)計量的期望值為 ，此期望值即稱為常態(tài)分數(shù)。此即為常態(tài)機率圖。 (2)它可能是錯誤的資料 → 應被更正 可能意味模型的假設不成立 → 考慮其他模型 可能僅是偶爾發(fā)生的不尋常值 → 應被保留 ?有一個離群值的資料集 x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 離群值 偵測離群值 ?檢視散佈圖 y x 0 2 4 3 1 6 5 20 80 60 40 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 偵測離群值 ?標準化殘差 (1)如果一個觀察值大幅偏離其他資料所呈現(xiàn)的圖形，則所對應的標準化殘差的絕對值將很大。 ?Minitab報表：有離群值的資料集之迴歸分析 The regression equation is Y=65－ Predictor Constant X S= Analysis of Variance SOURCE Regression Residual Error Unusual Observations Total Obs SE Coef Coef T P 0 Rsq=％ Rsq(adj)=％ DF F MS SS P 1 8 9 X Y Fit SE Fit Residual St Resid 4 3 75 偵測具影響力的觀察值 ?有時候，一個或以上的觀察值對結果有重大影響。 ?資料集中具有影響力的觀察值 y x ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 具有影響力的觀察值 (高槓桿點 ) 第 i 個觀察值的槓桿作用 → 一個觀察值的槓桿作用是藉由其自變數(shù)的 值距離平均數(shù)多遠來決定。 n 1 hi = + ( xi x )2 Σ( xi x )2 ?有高槓桿觀察值 的資料集 xi yi 10 10 15 20 20 25 70 125 130 120 115 120 110 100 ?第 7個觀察值 (70,100)具極端 x值 → 高槓桿點 槓桿作用如下 ： n 1 h7 = + ( x7 x )2 Σ( x7 x )2 = 7 1 + ( 70 )2 = ?有高槓桿觀察值的資料集之散佈圖 y x 100 110 120 130 10 25 40 55 70 85 ● ● ● ● ● ● ● 高槓桿觀察值 ?有高槓桿觀察值的資料集之 Minitab輸出報表 The regression equation is Y=127－ Predictor Constant X S= Analysis of Variance SOURCE Regression Residual Error Unusual Observations Total Obs SE Coef Coef T P 0 Rsq=％ Rsq(adj)=％ DF F MS SS P 1 5 6 X Y Fit SE Fit Residual St Resid 7 70 100 ?在簡單線性迴歸的例子中， Minitab視 hi＞ 6/n是擁有高槓桿作用的點。 既然 h7 = ＞ ， Minitab認為第 7個觀察值是高槓桿點。 ?受到高殘差質與高槓桿作用的相互影響的具影響力觀察值可能很難被偵測出來。 第 15章將討論此種稱為庫克 D ( Cook’s D )的統(tǒng)計