【正文】 x 當 x=20時的 E(y) 當 x=30時的 E(y) 當 x=0時的 E(y) 當 x=10時的 E(y) 當 x=10時，y之分配 當 x=20時，y之分配 當 x=30時，y之分配 ps. 對每個 x值而言，y分配之形狀相同 圖 A ?圖 A為模型假設(shè)及其涵義 ?在圖中， E(y)值隨著 x值而變。 → 若 β1≠0，可說此兩變數(shù)是相關(guān)的。 ?估計值的標準誤 S = MSE = SSE n 2 t 檢定 ?簡單線性迴歸模型 y=β0+ β1x+ε → 若 x和 y呈線性相關(guān)，可知 β1≠0。 ?我們運用樣本資料檢定關(guān)於參數(shù) β1的假設(shè)： H0： β1 =0 Ha： β1≠0 t 檢定 ?b1的抽樣分配 期望值 ： E(b1) = β1 →b 1的期望值等於 β1，故 b1為 β1的不偏估計值 標準差 ： σb1 = 分配形式 ：常態(tài) Σ(xi x)2 σ t 檢定 ?由於 σ值未知，所以用 s值來估計 σ，再求出 σb1的估計值，記作 sb1。 → 由於此檢定為雙尾檢定 ，我們將此值加倍後，可知與 t= p *2= →reject H0 β1≠0 ，學生人數(shù)與銷售額存在顯著的關(guān)係 b1 sb1 5 β1的信賴區(qū)間 ?β1的信賴區(qū)間形式如下： b1 177。 tα/2 sb1 =5 177。 或 β1的信賴區(qū)間 ?以 t 檢定做顯著性檢定時，檢定的假設(shè)是： H0： β1 =0 Ha： β1≠0 → 在 α=，由於 β1的假設(shè)值為0，並不在信賴區(qū)間 ，因此拒絕虛無假設(shè) H0。 F 檢定 ?如果只有一個自變數(shù)，在檢定迴歸關(guān)係顯著性時， F檢定與 t檢定的結(jié)論相同。 ?使用 F檢定決定迴歸關(guān)係是否有顯著性所根據(jù)的邏輯是由兩個互相獨立的 σ2估計值發(fā)展而得。 → F= →P ＜ =α Reject H0 學生人數(shù)與銷售額間存在顯著關(guān)係 MSR MSE F = = 14200 = 亞曼的披薩屋的 ANOVA表 變異來源 自由度 均方 平方和 F 迴歸項 誤差項 總和 14200 1530 15730 1 9 8 14200 1 =14200 1530 8 14200 = = 解釋顯著性檢定時的注意事項 ?拒絕 H0： β1 =0並得到 x和 y存在顯著關(guān)係的結(jié)論，並不等於認定 x與 y間有因果關(guān)係。 ?當顯著關(guān)係已知時，樣本中觀察到的 x範圍可以放心地用估計迴歸方程式做預(yù)測。 非線性關(guān)係之線性近似的例子 x y y = b0+ b1x ^ 實際關(guān)係 x之 最小值 x之 最大值 可觀察到的 x範圍 ? 運用最小平方法，我們獲得估計的簡單線性迴歸方程式。 點估計 ?在披薩屋一例中 ,估計迴歸方程式 y=60+5x是學生人數(shù) x與每季銷售額 y間關(guān)係的估計。 ?因此，對所有鄰近學生人數(shù)為 10,000人 (x= 10)之校園的餐廳而言，平均每季銷售額的點估計為 y=60+5 (10) =110，即 $110,000。 ?第二種型態(tài)的區(qū)間估計，預(yù)測區(qū)間(prediction interval)，則用於對一已知 x值所對應(yīng)之個別 y值做區(qū)間估計。如果希望推論有關(guān) yp與實際每季平均銷售額 E(yp)的接近程度，則必須估計 yp的變異數(shù)。 2 ? ? Yp標準差的估計值為式 ()的平方根，公式如下。由於 xp=10， x= 14以及 Σ (xi x)2=568，所以可由式 ()得到 E(yp) 的信賴區(qū)間 () Yp 177。 使用 ()求算學生人數(shù) 10,000人之校園的所有披薩屋平均每季銷售額的 95%信賴區(qū)間時，需知道對應(yīng)於 a/2=n2=102=8之值。因此，yp=110 與邊際誤差ta/2sYp=()=，使得 95%的信賴區(qū)間為 110 177。 ^ ^ Syp=s + =s √ ? 1 n (x x)2 Σ (xi x)2 1 n 當 xp=x 時，式 ()之 yp的估計標準差將最小。而當 xp偏離 x愈遠時， y之平均數(shù)的信賴區(qū)間將變得愈寬。 ^ ^ 圖 已知學生人數(shù) x下，平均每季銷售額 y的 信賴區(qū)間 y x X=14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 120 20 40 60 80 100 140 160 180 200 220 ? ? 上限 下限 信賴區(qū)間 上下限依 xp而定 當 xp=x時， 信賴區(qū)間之 寬度為最小 學生人數(shù) (千人 ) 每季銷售額 ($1,000) 個別 y值的預(yù)測區(qū)間估計 為了建立預(yù)測區(qū)間，我們必須先決定 x= xp時，以 yp估計個別 y值時的變異數(shù)。 1. 個別 y值相對於平均數(shù) E(yp)的變異數(shù)，此變異數(shù)的估計值已知為 s2。 2 ^ ^ ^ Yp個別值的變異數(shù)估計式，記作 sind，可表示為 2 sind =s2+ syp =s2+ s2[ + ] 2 ^ 1 n = s2 [1 + + ] 1 n (xP x)2 Σ (xi x)2 (xP x)2 Σ (xi x)2 () () 因此， Yp個別值的標準差估計值為 sind = s 1 + + 1 n (xP x)2 Σ (xi x)2 以披薩屋為例，鄰近學生人數(shù) 10,000人之 校園的某個餐廳每季銷售額預(yù)測值所對應(yīng)的 估計標準差如下。 ta/2 sind ^ 其中，信賴係數(shù)為 1α，而 ta/2則是自由度n2的 t分配查表而得。 ? 因為 Yp =110，邊際誤差ta/2sind=() = ， 95%預(yù)測區(qū)間是 ? 以美元來表示，預(yù)測區(qū)間為 $76,125至$143,875。 110177。 在自變數(shù) xp＝ x時，信賴區(qū)間估計與預(yù)測區(qū)間估計的精準度都最高。 圖 在已知學生人數(shù) x下，每季銷售額 y 的信賴與預(yù)測區(qū)間 y x X=14 0 2 4 6