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chapter14simplelinearregression(參考版)

2024-10-03 22:06本頁面
  

【正文】 。 → 有某些診斷程序可同時考慮兩項因素以決定何種是具影響力的觀察值。 → 在報表底部單獨印成一行,且在右邊註記 X。 ?就上表資料集而言, 6/n=6/7=。 → xi距離平均數(shù) x愈遠,第 i個觀察值的槓桿作用愈高。 ?如果只有一個自變數(shù),可藉由散佈圖確認(rèn)具影響力的觀察值 → 可能是一個離群值,或其所對應(yīng)的 x值遠離平均數(shù);或因上述兩個原因同時存在而造成。 (2)許多電腦軟體會自動標(biāo)示出標(biāo)準(zhǔn)化殘差的絕對值很大的觀察值。 披薩屋範(fàn)例 —常態(tài)機率圖 0 標(biāo)準(zhǔn)化殘差 y y ^ ● ● ● ● 常態(tài)分?jǐn)?shù) ● ● ● ● ● 2 1 +2 +1 0 2 1 +2 +1 ● 殘差分析:離群值及具影響力的觀察值 ?離群值 (outlier) : (1)指不符合其餘資料所表現(xiàn)的趨勢之資料 點,代表值得懷疑或須經(jīng)仔細(xì)檢查的觀察值。 ?先將標(biāo)準(zhǔn)化殘差排序,此時最小的標(biāo)準(zhǔn)化殘差應(yīng)接近最小的常態(tài)分?jǐn)?shù),並在圖上以點表示,若標(biāo)準(zhǔn)化殘差趨近常態(tài)分配,資料點應(yīng)聚在過原點的 45度直線附近。 ?對複迴歸分析而言,由於出現(xiàn)一個以上的自變數(shù),故較常使用對應(yīng) y的殘差圖 ^ ^ ^ ^ 0 殘差 y y ^ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x 100 80 60 20 10 +20 +10 120 140 160 180 披薩屋範(fàn)例 —相 對於預(yù)測值 y的殘差圖 標(biāo)準(zhǔn)化殘差 ?標(biāo)準(zhǔn)化殘差 (standardized residual):將每個殘差除以其標(biāo)準(zhǔn)差即可得 ?第 i個殘差的標(biāo)準(zhǔn)差 syi yi=s 1hi ,其中, syi –yi=第 i個殘差的標(biāo)準(zhǔn)差 s=估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤 hi= + √ ^ n 1 Σ(xix)2 (xix)2 ^ ?第 i個觀察值的標(biāo)準(zhǔn)化殘差 : ?標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖可了解誤差項 ε為常態(tài)分配的假設(shè)是否適當(dāng),若此假設(shè)成立,標(biāo)準(zhǔn)化殘差的分配應(yīng)如同來自標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分配 ?在檢視標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖時, 95%的標(biāo)準(zhǔn)化殘差應(yīng)會落在 2與 +2之間 syi –yi ^ yi –yi ^ 披薩屋範(fàn)例 —相 對於自變數(shù) x的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖 0 標(biāo)準(zhǔn)化殘差 y y ^ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● x 2 8 6 4 26 24 22 20 18 16 14 12 10 2 1 +2 +1 0 常態(tài)機率圖 ?常態(tài)分?jǐn)?shù) :在平均數(shù) 0、標(biāo)準(zhǔn)差 1的常態(tài)分配中重複抽樣,每組樣本的最小值的隨機變數(shù)稱一階統(tǒng)計量。 信賴區(qū)間與較寬之預(yù)測區(qū)間的一般情況顯示於圖 。 ^ 此一差異表示預(yù)測 y之平均數(shù)將可較預(yù)測個別值更為準(zhǔn)確。 ? 注意,個別餐廳之預(yù)測區(qū)間較鄰近學(xué)生人數(shù) 10,000人之校園的所有餐廳平均銷售額的信賴區(qū)間 ($ 至 $)寬。 利用 = sind=,可求得鄰近學(xué)院之披薩屋每季銷售額的 95%預(yù)測區(qū)間。 sind = 1 + + 1 10 (1014)2 568 = = yp的預(yù)測區(qū)間 () Yp 177。 2. 利用 yp估計 E(yp)所產(chǎn)生的變異數(shù),此變異數(shù)的估計值為 syp。此變異數(shù)係由下列兩部分所組成。此情況表示於圖。此時, yp之估計標(biāo)準(zhǔn)差將變?yōu)? 每當(dāng) xp=x時,可得 y之平均數(shù)的最佳或最精確估計值。 ,信賴區(qū)間估計值為 $ 至 $。 查附錄 B的表 2,可得 =。 ta/2sYp ^ ^ 其中,信賴係數(shù)為 1α,而 ta/2則是自由度 n2的 t分配下之 t值。 ? = .1282 = Syp= + ? 1 10 (1014)2 568 s=。 ? ? ? Syp=s2[ + ] ? 1 n ( xP – x )2 Σ ( xi – x )2 2 () () Syp=s + ? 1 n (xP x)2 Σ (xi x)2 再給定的 xp下,估計 yp之變異數(shù)時的公式,記作Syp ,表示如下。 xp=自變數(shù) x的特定值或已知值 yp=對應(yīng)於已知 xp值的應(yīng)變數(shù) y值 E(yp)=對應(yīng)於已知 xp值的應(yīng)變數(shù) y值的平均數(shù)或期望值 yp= b0+ b1 xp=E(yp)的點估計值,當(dāng) x=xp Y之平均數(shù)的信賴區(qū)間估計 ? 通常,我們不能期望 yp恰等於 E(yp)。 ? ? 區(qū)間估計 ? 第一種型態(tài)的區(qū)間估計,信賴區(qū)間(confidence interval),係對一已知 x值所對應(yīng)之 y平均數(shù)做區(qū)間估計。利用此估計迴歸方程式來求算特定 x值所對應(yīng) y的平均數(shù)之點估計值或者預(yù)測對應(yīng)已知 x值之單獨 y值。 ? 若結(jié)果顯示 x與 y間在統(tǒng)計上有顯著關(guān)係,而且估計迴歸方程式的適合度甚佳,則利用此估計迴歸方程式應(yīng)該有助於進行估計與預(yù)測。但超過此自變數(shù)範(fàn)圍進行預(yù)測時應(yīng)該非常小心。 ?拒絕 H0: β1 =0並證明存在統(tǒng)計顯著性,並不能認(rèn)定 x與 y有線性關(guān)係,僅能說 x與 y有相互關(guān)係。 F 檢定 ?σ2的兩個估計值 (1)誤差均方 MSE= (2)若 H0: β1 =0為真 迴歸均方 MSR= = SSR 迴歸自由度 自變數(shù)個數(shù) SSR SSE n 2 利用 F 檢定檢驗簡單線性迴歸的顯著性 H0: β1 =0 Ha: β1≠0 檢定統(tǒng)計量 F = 拒絕法則 P值法:若 p≦ α,則拒絕 H0 臨界值法:若 F≧ Fα ,則拒絕 H0 其中, Fα係依分子自由度為 1,分母自由度為 n2之 F分配求得 MSR MSE 簡單線性迴歸的 ANOVA表的一般形式 變異來源 自由度 均方 平方和 F 迴歸項 誤差項 總和 SSR SSE SST 1 n 1 n 2 MSR= SSR 1 MSE= SSE n 2 MSR MSE F= ?以亞曼披薩屋為例進行 F檢定: 檢定統(tǒng)計量 → 根據(jù) F分配表,分子自由度為 1,分母自由度為 n2=8時, F= 。 ?但是如果有一個以上的自變數(shù)時, 只有 F檢定可以測試全體自變數(shù)與應(yīng)
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