【文章內(nèi)容簡介】 8( 1 ) 2 A 3 B 2 38 4 1 0 4 1 2 6?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?4224 6 211 33( 2 ) X ( B A ) .4 1 6 1 6 4 1 6 1 6333 3 3????????? ? ? ????? ???????? 2 4 6A,8 4 1 0??? ?????6 2 8B.4 1 2 6?????????(1 ) 2 A 3 B .?求 ( 2) A 3X =B , X .?若 求 例 2 已知 4 1 8 8 6 1 2 2 4 1 4 1 4 1 2 .1 6 1 2 8 3 6 2 0 1 8 4 4 4 3 8? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?解 A ( ) , B ( ) ,ik m s k j s nab ????設(shè) 矩 陣 則 由 元 素1 1 2 21... si j i j i j i s s j i k k jkc a b a b a b a b?? ? ? ? ? ?),. . .,3,2,1。,. . .,3,2,1( njmi ??C ( ) , A Bij m nm n c ??構(gòu) 成 的 行 列 矩 陣 稱 為 矩 陣 與 的 乘 積 .C AB.?． （ 3）矩陣的乘法 定義 5 3 2 1A,2 3 5?????????13B 5 4 .36????????????例 3 已知 求 AB與 BA． 133 2 1A B 5 42 3 536????? ??? ? ??? ????? ????解 3 1 2 ( 5 ) ( 1 ) 3 3 3 2 4 ( 1 ) 6 1 0 1 1 .2 1 ( 3 ) ( 5 ) 5 3 2 3 ( 3 ) 4 5 6 3 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?矩陣的乘積不滿足交換律 . 9 7 1 47 2 2 2 52 0 1 2 2 7????????????A B B A?1 3 3 2 1 2 3 ( 3 ) 1 ( 1 ) 3 55 3 4 2 5 2 4 ( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) 4 53 3 6 2 3 2 6 ( 3 ) 3 ( 1 ) 6 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???133 2 1B A 5 42 3 536???????? ? ??????????矩陣的乘法滿足以下規(guī)律（假設(shè)運算是可行的）： (A B )C = A (B C ).A ( B +C ) =A B +A C .( B +C ) A =B A +C A .( 3) ( A B ) =( A ) B =A ( B )k k k（其中 k為常數(shù)）． 注意 兩矩陣的乘法與兩數(shù)的乘法有很大的差別 . 1 1 1 1A 0 , B 0 .1 1 1 1?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 0 0A B 0 .1 1 1 1 0 0?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?（ 1）結(jié)合律 （ 2）分配律 在矩陣運算中，如果 且 也不能推出 成立 . AB=AC A0? B=C1 0 2 0 2 0A , B , C ,0 0 0 0 0 1? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 0 2 0A B , A C .0 0 0 0? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A B A C .?.CB?1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 322 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 310E A A .01a a a a a aa a a a a a? ? ? ???? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 332 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 31 0 0A E 0 1 0 A .0 0 1a a a a a aa a a a a a??? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ???解 . 例 4 設(shè) 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 3A,a a aa a a??? ????231 0 010E , E 0 1 0 .010 0 1???? ???????? ????23E A A E .求 與一般地有 A E A , E A A .m n n m n m m n m n? ? ? ???定義 6 設(shè) A是 n階方陣， k為正整數(shù)，則我們稱 A A A Akk?個為方陣 A的 k次 方冪 ，簡稱為 A的 k次冪． 矩陣 A的方冪滿足以下運算法則： (1 ) A A A .k l k l??( 2 ) ( A ) A .k l k l? (k, l為正整數(shù) ) ( A B ) A B ( 1 ) .k k k k??一般來說 . 例 5 計算 ).(101 為正整數(shù)nn?????????解 1 0 1 0 0 0,1 0 1 0??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?AA E B .? ? ?B2 0 0 0 0 0 0B.0 0 0 0??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?002 , B .00nn ??? ? ? ????所以，由二項式定理，得 EB B E .?1 2 2( 1 )A ( E B ) E E B E B B2n n n n n nnnn ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 0 0 0 1 0E B .0 1 0 1nn n??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 把矩陣 A所有行換成相應的列所得到的矩陣，稱為 A的 轉(zhuǎn)置矩陣 . A?11 12 121 22 212......A...nnm m m na a aa a aa a a?????????11 21 112 22 212......A...mmn n m na a aa a aa a a????? ?????（ 4）矩陣的轉(zhuǎn)置 定義 7 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算法則： (1 ) ( A ) A .?? ?( 2) ( A B ) A B .? ? ?? ? ?( 3 ) ( A ) A ( ) .k k k??? 為 常 數(shù)( 4) ( A B ) B A .? ? ??例 6 設(shè) 2 0 1A,1 3 2???? ????17B 4 2 .20??????????? (AB) .?求解法一 172 0 1 0 1 4 4 21 3 2 1 7 1 320???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ?????， 0 1 7 ( A B ) .1 4 1 3????? ????解法二 211 4 2 0 17( A B ) B A 0 3 .7 2 0 14 1312??? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? 由 n階方陣 A的元素構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣 A的 行列式 . | A |.11 12 13 121 22 23 21 2 3......A...nnn n n nna a a aa a a aa a a a?????????（ 5）矩陣的行列式 定義 8 11 12 13 121 22 23 21 2 3......| A |...nnn n n nna a a aa a a aa a a a?矩陣 A的行列式滿足下法則 : (1 ) | A | | A | .? ?( 2) | A | | A | .nkk?( 3 ) | A B | | A | | B | .??解 1 3 2 5 1 1 1 7 1 1 1 7 A B 5 6 .2 2 3 4 2 2 2 2? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?1 3 2 5| A | 8 , | B | 7 , | A || B | 5 6 .2 2 3 4? ? ? ? ? ? ?? | A B | | A | | B | .? ? ?注意 一般來說 | A | | A | .kk?例 7 設(shè) 13A,22??? ?????| A B | | A | | B | .??試 驗 ??? ???? 逆矩陣 設(shè) A是一個 n階方陣 ,E是一個 n階單位矩陣 .如果存在一個 n階方陣 B,使 AB=BA=E,則稱 B為 A的逆矩陣 ,簡稱為 A的逆陣 ,或 A的 逆 ．這時稱 A為可逆矩陣 ,簡稱可逆陣 . 1 0 1 0A , B ,1 1 1 1? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?1 0 1 0 1 0A B E ,1 1 1 1 0 11 0 1 0 1 0B A E .1 1 1 1 0 1? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?1. 逆矩陣的概念 定義 1 例如 10A00???????1 1 1 22 1 2 2B bbbb??? ????1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 21 0 1 0A B .0 0 0 0 0 1bb bbbb??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???并非任意一個非零方陣都有逆矩陣 . 例如 因此，矩陣 A不可逆 . 性質(zhì) 1 如果方陣 A可逆，則 A的逆矩陣是惟一的． 設(shè) B， C都是 A的逆矩陣， 所以 A的逆矩陣是惟一的． B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C． 性質(zhì) 2 可逆矩陣 A的逆矩陣 1 1 1A , ( A ) A .? ? ? ?是 可 逆 矩 陣 且1 A A? 是 的 逆 矩 陣 ， 11 A ( A ) A( A ) E .??? ? ?證 證 11A A A A E????11(A )??性質(zhì) 3 可逆矩陣 A的轉(zhuǎn)置矩陣 39。 1 1A ( A ) ( A ) .?????也 是 可 逆 矩 陣 , 且證 11A ( A ) ( A A ) E E,??? ? ? ?? ? ?11( A ) A ( A A ) E E,??? ? ? ?? ? ?11 ( A ) ( A ) .??????性質(zhì) 4 兩個同階可逆矩陣 A、 B的乘積是可逆矩陣，且 1 1 1( A B ) B A .? ? ??1 1 1 1 1 1 ( A B ) ( B A ) A ( B B ) A A E A A A E ,? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 1 1( B A ) ( A B ) B ( A A ) B B EB B B E,? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 ( A B ) B A .? ? ???證 1 1 1( A B ) A B .? ? ??注意 一般來說， 若 n階矩陣 A的行列式 則稱 A為 非奇異矩陣 .反之 ,若 則稱 A是 奇異矩陣 . | A | 0,?| A | 0,? A B B A E.? ? ? | A || B | | A B | | E | 1 ,? ? ? ?| A | 0 , A? 所 以 為 非 奇 異 矩 陣 .2. 逆矩陣的求法 定義 2 定理 1 若方陣 A可逆，則 A為非奇異矩陣 . 證