【正文】 ( 。 , 1 , 2 , , ) .i j i j in jna A a A a A i j i j n? ? ? ? ? ?1 1 2 2 ( 1 , 2 , , ) ,i i i i in inD a A a A a A i n? ? ? ? ?例 1 計算 .2020112001121201??????D解 將行列式按第 1行展開 ,得 .05)1(5)2(5011120112)1()1(211120012)1()2(0201112011)1(1413111??????????????????????????????D例 2 計算下列三角行列式 (即主對角線上方的所有元素都為零的行列式 ): 1121 2212.n n nnaaaDa a a?解 按第一行展開 ,得 .)1(2133322211213332221111nnnnnnnn aaaaaaaaaaaaaaD?????????????.214443332211nnnn aaaaaaaaD?????對上式中的右邊的 n1階行列式再按第一行展開 ,得 如此下去做 n次 ,得 .332211 nnaaaaD ??2. 克萊姆 (Gramer)法則 n元線性方程組 (Ⅲ ) ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????????22112222212111212111系數(shù)行列式為 11 12 121 22 2120.nnn n nna a aa a aDa a a??定理 (克萊姆法則 ) 如果線性方程組（ Ⅲ ）的系數(shù)行列式 0,D ? 則該方程組有且只有惟一解 1212 , , , .nnDDDx x xD D D? ? ?11 1 , 1 1 1 , 1 121 2 , 1 2 2 , 1 21 , 1 , 1.. . .... . .. .... . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... . .. .j j nj j njn n j n n j nna a b a aa a b a aDa a b a a???????證 11 1 12 2 1 11 1 2 21 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 1 , 2 , ) .j j n njj j j j nj nj jn n n n nn nn n j j n nja A a A a A xa A a A a A xa A a A a A x b A b A b Ajn? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??1 1 2 2 ( 1 , 2 , ) ,j j j j nj nja A a A a A D j n? ? ? ? ?1 1 2 2 ( 1 , 2 , ) .j j n n j jb A b A b A D j n? ? ? ? ?1 1 2 2 0 ( 。 , 1 , 2 , ) ,i j i j in jna A a A a A i j i j n? ? ? ? ? ? 0 ,D ? ( 1 , 2 ) .jjD x D j n? ? ? ( 1 , 2 ) .jj Dx j nD? ? ?行列式的展開性質(zhì) 例 3 用克萊姆法則解方程組 ???????????????????????.02,034,6223,523143214321421xxxxxxxxxxxxx解 21314111 1 0 2 1 1 0 2343 2 1 2 0 5 1 8 4 3 1 1 0 7 1 922 0 1 0 0 2 1 4rrrrDr r????? ? ? ??? ? ? ??? ? ?按 第 列 展 開2131125 1 8 5 1 87 1 9 2 0 1 22 1 4 3 0 421( 1 ) ( 1 ) 5 0 ,34rrrr?? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??按 第 列 展 開且 ,1501021104216320512 ?????????D ,1001001130212620201 ?????????D,2000021034262325113 ??????D ,2501020134612350114 ????????D1110 2 ,5DxD? ? ? ? 2215 3,5DxD?? ? ? ?3320 4,5DxD? ? ?4425 5.5DxD?? ? ? ?注意 克萊姆法則有兩個條件：一是方程組的未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù)，二是系數(shù)行列式不等于零． 當(dāng)方程組 (Ⅲ )的常數(shù)項 不全為零時 ,稱為非齊次線性方程組 . nbbb , 21 ????????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????????????(Ⅳ ) 12 x x? ? ? ? ?齊次線性方程組 零解 推論 2 如果齊次線性方程組有非零解 ,則它的系數(shù)行列式 D必為零 . 推論 1 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ,則它只有零解 . 0?D211 1 1 ( 2) ( 1 ) .11kD k k kk? ? ? ?例 4 k取何值時 ,齊次線性方程組 ??????????????.0,0,0kzyxzkyxzykx有非零解 ? 解 0)1)(2( 2 ??? kk 2 , ? ? ? ?或 矩陣的概念及其運(yùn)算 1. 矩陣的概念 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2... ,... ,........................................ ...... .nnnnm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ???? ? ????? ? ? ????????????????mnmmnnaaaaaaaaa. . .. . .. . .212222111211???ija??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211A ( )ij m na ??A ( ).ija?定義 1 m?n 矩陣 :矩陣的第 i 行 j 列的 元素 . A如果矩陣 A的元素全為實數(shù) ,則稱 A為 實矩陣 . 如果全為復(fù)數(shù) ,則稱為 復(fù)矩陣 . 如果全為零 ,則稱為 零矩陣 ,記作 0. 1 1 1 2 1A ( ) .na a a?11211A.maaa?????????????行矩陣 列矩陣 當(dāng) m=n 時 , 即矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同時 , 稱矩陣為 方陣 . 11220000A00 nnaaa?????????0000A00aaa?????????對角矩陣 數(shù)量矩陣 1122Annaaa?????????11 22A { , , , }nndiag a a a?1 0 00 1 00 0 1????????11 12 122 20A00nnnna a aaaa?????????1121 2212000Bn n nnbbbb b b?????????n階單位矩陣 上三角矩陣 下三角矩陣 E 如果 都是 m?n矩陣 ,并且它們的對應(yīng)元素都相等 ,則稱矩陣 A和矩陣 B相等 ,記作 A=B. A ( ) B ( )ij ijab??與3 7 2A , B ,33a b c da b c d??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?例 1 已知 且 A=B,求 a, b, c, d. 解 ???????????????,3,3,23,7badcdcba定義 2 5 , 2 , 2 , b c d? ? ? ? ? ? 兩個 m?n矩陣 對應(yīng)的元素相加得到 m?n矩陣 ,稱為矩陣 A與矩陣 B的和 ,記作 A+B. 2. 矩陣的運(yùn)算 (1) 矩陣的加法與減法 定義 3 A ( ) B ( )ij ijab??與1 0 1 1 3 1 1 1 0 3 1 1 0 3 02 3 2 3 1 4 2 3 3 1 2 4 1 4 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A B ( ) ( ) ( ) .ij m n ij m n ij ij m na b a b? ? ?? ? ? ? ?例如 求兩個矩陣和的運(yùn)算叫作 矩陣的加法 . 把 m?n矩陣 中各元素變號得到 的 矩陣 ,稱為矩陣 B的和負(fù)矩陣 ,記作 － B. nmijb ?? )(B.)(B nmijb ????).(B BAA ????矩陣的減法 1 2 3 2 3 4 1 2 2 3 3 4 1 1 12 1 5 1 1 4 2 1 1 1 5 4 1 0 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?例如 注意 只有當(dāng)兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都分別相同時 ,才能進(jìn)行加減運(yùn)算． 矩陣運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律： （ 1）交換律 A+B=B+A. （ 2）結(jié)合律 (A+B)+C=A+(B+C). （ 3） A+0=A. （ 4） A+ (－ A) =0． 規(guī)定 : kA=Ak. 以數(shù) k 乘以矩陣 的每一個元素所得的矩陣，稱為 數(shù) k 與矩陣 A的乘積 ，記作 kA. A ( )ij m na ??11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 2... ...... ...A... ...nnm m m n m m m na a a k a k a k aa a a k a k a k akka a a k a k a k a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????? ?????????? ?????????? ?39603331320111320113． （ 2）數(shù)與矩陣相乘 定義 4( 1 ) ( ) A ( A ) .k l k l?( 2) ( A B ) A B .k k k? ? ?( 3 ) ( ) A A A .k l k l? ? ?矩陣運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律： ( 4) 1 A A .?( 5 ) 0 A 0.?2 4 6 6 2