【正文】 第九章 行列式與矩陣 本章主要內(nèi)容 167。 二階、三階行列式 167。 三階行列式的性質(zhì) 167。 高階行列式 克萊姆 (Gramer)法則 167。 矩陣的概念及其運(yùn)算 167。 逆矩陣 167。 分塊矩陣 167。 矩陣的初等變換 學(xué)習(xí)目標(biāo) 掌握二階、三階行列式的計(jì)算 理解 n階行列式的定義和性質(zhì) 理解和掌握行列式按行（列）展開的計(jì)算方法 掌握應(yīng)用克萊姆法則的條件及結(jié)論 理解矩陣的概念；矩陣的元素；矩陣的相等；矩陣的記號(hào)等 了解幾種特殊的矩陣及其性質(zhì) 掌握矩陣的乘法；數(shù)與矩陣的乘法；矩陣的加減法；矩陣的轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及性質(zhì) 理解和掌握逆矩陣的概念；矩陣可逆的充分條件；伴隨矩陣和逆矩陣的關(guān)系；當(dāng)可逆時(shí) ,會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣 二階、三階行列式 2. 三階行列式 1. 二階行列式 021122211 ?? aaaa 時(shí) ,方程組 (Ｉ )有唯一解 ,211222112121221 aaaababax??? 1 1 2 2 1 121 1 2 2 1 2 2 1.a b a bx a a a a?? ?11 1221 22aaaa1. 二階行列式 ???????.,22221211212111bxaxabxaxa（ Ⅰ ） 二階行列式 ? ?2,1。2,1 ?? jia ij :行列式的元素 . 11 22 12 21a a a a??2112221122211211 aaaaaaaa ??主對(duì)角線 次對(duì)角線 線性方程 (Ｉ )的解可以表示為 : 1 1211 12 2221 21211 1211 1221 2221 22, .ba abba abx xaa aaaa aa? ?二階行列式的展開式 如果記 : 1 1 1 22 1 2 2,aaD aa? 1 1 212 2 2,baD ba? 1 1 122 1 2,abD ab?則線性方程 (Ｉ )的解可以簡(jiǎn)單的表示為 : 行列式 D是方程組 (Ｉ )的系數(shù)行列式 . 121 2, , ( 0 )DDx DxDD? ??例 1 用行列式解二元一次方程組 : 21 2 2 ( 1 ) 3 7 0 ,32D?? ? ? ? ? ? ? ?,21211 151 ???D解 .7113 522 ??D12122 1 7, 3 1 .77DDx x?? ? ? ? ?????????.1123,522121xxxx(Ⅱ ) 2. 三階行列式 ??????????????333323213123232221211313212111,bxaxaxabxaxaxabxaxaxa??????????????????????????????????????????.,312213332112322311322113312312332211111231132231221221133112232211231221333211232231132211331231233221111233311323321113213331122331123122133321123223113221133123123322111322333122322312312313322332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaabx333231232221131211aaaaaaaaaD ? 332211 aaa? 312312 aaa? 322113 aaa?312213 aaa? 332112 aaa? 322311 aaa?三階行列式 三階行列式的展開式 333231232221131211aaaaaaaaa).0(,33 ?? DDDx,22 DDx ?,11 DDx ?,3333123221131112abaabaabaD ? .3323122221112113baabaabaaD ?,3332323222131211aabaabaabD ?于是方程組的解可以簡(jiǎn)單表示為 : .00000000)2( abcabcczbyxa???????例 2 計(jì)算下列行列式 : .000)2(czbyxa解 三角行列式 312203231)1(???1132532)1(1203)1(23223)1(33120)1)(1(312203231312111??????????????????????????例 3 用行列式解三元線性方程組 : 解 .225413123213 ??????D,332451131231 ?????D1 2 1 2 1 1 2 8 2 1 8 4 1 1 0 ,1 4 2D ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??,112511321312 ?????D11 33 3 ,11Dx D? ? ? ? ,1111122 ??? DDx .2112233 ????? DDx1 2 31 2 31 2 32 3 ,2 3 ,4 2 5.x x xx x xx x x? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 三階行列式的性質(zhì) 333231232221131211aaaaaaaaaD ?把行列式 的行和列依次互換 ,得到行列式 332313322212312111aaaaaaaaaD ?? D的 轉(zhuǎn)置行列式 性質(zhì) 1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等 ,即 .DD ??502410321???D543012201????D,276165502410321?????????D.276165543012201??????????D例如 性質(zhì) 2 交換行列式的任意兩行 (列 ),行列式僅改變符號(hào) . 313233212223111213333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa??推論 如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零． 性質(zhì) 3 把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù) ,等于以數(shù)乘以此行列式． 11 12 13 11 12 1321 22 23 21 22 2331 32 33 31 32 33.a a a a a ak a k a k a k a a aa a a a a a推論 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面． 推論 2 如果行列式某行（列）的元素全為零，則此行列式的值等于零． 推論 3 如果行列式某兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式的值等于零 . 1 2 3 1 2 32 4 6 2 1 2 3 0.3 1 7 3 1 7??性質(zhì) 4 如果行列式的某一行（列）的各元素都是二項(xiàng)的和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和 . 333231232221131312121111aaaaaabababa ???333231232221131211333231232221131211aaaaaabbbaaaaaaaaa??性質(zhì) 5 把行列式的某一行 (列 )的各元素乘以常數(shù) k,加到另一行上 ,行列式的值不變 . ?333231232221131211aaaaaaaaa.333231132312221121131211aaakaakaakaaaaa???(性質(zhì) 推論 3) 例 1 計(jì)算行列式 .1315530931062????D解 2 6 1 03 9 3 0 0 .5 1 5 1 3D?? ? ??(性質(zhì) 4的推論 3 ) 例 2 計(jì)算行列式： 10 1 3(1 ) 1 1 5 .2 3 1D?? 21 1 1( 2) 1 2 .22Dxx???解 311210 1 3 1 1 5 2( 1 ) 1 1 5 0 1 32 3 1 2 3 1rrrrD? ??? ??? ? ?321 1 5 1 1 50 1 3 0 1 3 1 ( 1 ) ( 6 ) 6 .0 1 9 0 0 6rr ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???).2)(1(2002101112,2221111)2( 13122 ???????????? xxxxrrrrxxD注意 ji rr ? :互換第 i、 j兩行． ji cc ?:互換第 i、 j兩列． )( kckr ii ?? :將行列式的第行 i（ i列）乘以數(shù) k． )( jiji kcckrr ?? :將行列式的第 j行 (j列 )乘以 k加到第 i行 (i列 )． 12 13211122 2331 32 33aaD a a aa a aa?余子式 ijM.)1( ijjiij MA ???代數(shù)余子式 2 2 2 33 2 3 3aaaa?).3,2,1(332211333231232221131211????? iAaAaAaaaaaaaaaaD iiiiii性質(zhì) 6 行列式等于它的任意一行 (列 )的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和 . ).3,2,1(332211333231232221131211????? jAaAaAaaaaaaaaaaD jjjjjj(行列式的展開性質(zhì) ) 例 3 用行列式的展開性質(zhì)計(jì)算行列式 2 3 11 0 5 .4 1 6D???1432)1(56412)1(06113)1(1 322221????????????? ???D解 .53)122(5)118( ????????性質(zhì) 7 行列式的某一行 (列 )的元素與另一行 (列 )對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零 . ).(0),(0332211332211tjAaAaAakiAaAaAatjtjtjkikiki????????614501132???D例如 11 21 12 22 13 23a A a A a A? ? ?2 ( 18 1 ) 3 ( 12 4) ( 2 12) 0 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 2 33 1 2 1 2 32 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 6 4 6 4 1? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 高階行列式 克萊姆法則 1. 高階行列式 2. 克萊姆 (Gramer)法則 劃去元素 所在的第 i行第 j列上所有的元素后形成的 n1階行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211? 高階行列式 克萊姆法則 1. 高階行列式 n階行列式 ijannnjnjnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM????????????????????111111111111111111111111?????????????????代數(shù)余子式 ijjiij MA ??? )1(主對(duì)角線上元素 次對(duì)角線上元素 階數(shù) n大于 3的行列式稱為 高階行列式 . 三階行列式的所有性質(zhì)對(duì)于高階 行列式都成立 . 1 1 2 2 0