【文章內(nèi)容簡介】 求找出一個封閉面（高斯面） S，在 S面上電場強度 E處處與 S面平行，且 E值相同；或者 S面的一部分 S1上滿足上述條件，另一部分 S2上電場強度 E處處與 S面垂直。這樣就可求出對稱分布電荷所產(chǎn)生的場。 ?? ??? VV dVdV ?? 01E0E ?????0?【 例 24】 已知半徑為 a的球內(nèi)、外的電場強度為 求電荷分布。 【 解 】 ?????????rreeE)2325(330220ararEraE)()(arar???????????????)(2150)(1223002200 raa ErErrr ???? E)()(arar?? 二、介質(zhì)中的高斯定理 ? 在有介質(zhì)存在的情況下，總電場（也稱宏觀電場）是外加電場和極化介質(zhì)產(chǎn)生的電場之和，即 （ 242） 式中： 為閉合面內(nèi)的 總的凈束縛電荷 。且 所以 （ 243） ? 令 （ 244） 0???? ??? PSqqd SE?Pq? ??? ???????? V SV PP ddVdVq SPP39。?0???? ???? SSdqd SPSE?? ??? qdS SPE )( 0?PED ?? 0? 式（ 243）可寫為 （ 245） 式（ 245）稱為介質(zhì)中的 高斯定理的積分形式 。 ? 由散度定理，式（ 245）可寫成 因閉合面 S是任意的，由此可得到 介質(zhì)中的高斯定理的微分形式 （ 246） ? 用式（ 245）計算 D時，只需要考慮自由電荷，而無需考慮束縛電荷 ，顯然計算電位移矢量 D較簡單。如果我們?nèi)匀恍枰嬎汶妶鰪姸?，則還需找出D和 E的關(guān)系。 ?? ?? qdS SD???? ?????? VVS dVqdVd ?DSD???? DPq?? 實驗表明，對于各向同性的、線性的均勻介質(zhì)，其極化強度 P與宏觀電場強度成正比，即 （ 247） ? 當(dāng)介質(zhì)的極化強度 P與宏觀電場強度的方向一致，且比值相等時，稱為 各向同性介質(zhì) 。若介質(zhì)的極化率與 E無關(guān)，稱為 線性介質(zhì) 。若介質(zhì)的極化率與坐標(biāo)變量無關(guān)，則稱為 均勻介質(zhì) 。 ? 將式（ 247）代入式（ 244）可得 即 （ 248） 式（ 248）稱為 電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系 。其中： 為介質(zhì)的介電常數(shù) ； 為 介質(zhì)的相對介電常數(shù) 。 EP 0?? e?EEEEED ???????? ?????? 0000 )1( reeED ???0??? ?r 【 例 25】 一個半徑為 a的導(dǎo)體球，帶電量為 q，在導(dǎo)體球外套有半徑為 b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣。試計算空間任一點的電場強度。 【 解 】 由于導(dǎo)體球和球外介質(zhì)都是球?qū)ΨQ的，故場分布也應(yīng)該是球?qū)ΨQ的，可以用高斯定理求解。 ? 當(dāng) 時，顯然，導(dǎo)體內(nèi)場強為零，即 ? 當(dāng) 時，應(yīng)用介質(zhì)中的高斯定理，得 )( ar ?)( bra ??01 ?EQdS ??? SDrrQ eD24??rrQ eDE22 41??? ?? 當(dāng) 時，應(yīng)用真空中的高斯定理，得 三、靜電場的基本方程 ? 根據(jù)前面所學(xué)的靜電場的特性，我們可以總結(jié)出靜電場的基本方程為： ? 積分形式 （ 249a） （ 249b） )( br ?0?QdS ??? SErrQ eE203 4 ???? ??c d 0lE? ???S qd SD? 微分形式 (250a) （ 250b） ? 理論上求解一組基本方程可唯一地確定靜電場的場強，但由于它們是矢量方程組，除了某些特例，直接求解相當(dāng)困難。 0??? E???? D 靜電場的邊界條件 ? 在電磁場中，空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質(zhì)。由于電介質(zhì)的極化特性不同，在兩種不同媒質(zhì)的分界面上一般存在著面束縛電荷，它將使電場強度和電位移產(chǎn)生躍變。 ? 電場強度和電位移在不同媒質(zhì)的分界面上的躍變規(guī)律，稱為 邊界條件 （或銜接條件 ）。 ? 由于分界面上的場量產(chǎn)生躍變，靜電場方程的微分形式不成立，故只能從靜電場方程的積分形式出發(fā)來討論場的邊界條件。 一、法向邊界條件 ? 在分界面上任取一點，包含該點做一閉合小圓柱，其上下底面與分界面平行，底面積非常小；側(cè)面與分界面垂直，且側(cè)高趨于零，如圖 29。對此閉合面應(yīng)用介質(zhì)中的高斯定理得 （ 251） 或 （ 252） 稱為 ：靜電場法向分量的邊界條件 ?h ?S D2 D1 ? 1 ? 2 en 圖 210 切向邊界條件 qdS ??? SDSSDSD Snn ????? ?21Snn DD ??? 21S???? )( 21 DDn? 當(dāng)介質(zhì)分界面不存在自由電荷時，法向邊界條件變?yōu)? （ 253） 或 （ 254） ? 該邊界條件也可用電位來表示 （ 255） nn DD 21 ?0)( 21 ??? DDnSnn ????? ?????? 2211 二、切向邊界條件 ? 在分界面上任取一點，包含該點做一小矩形閉合回路。長邊（足夠短）分居界面兩側(cè)，并與界面平行，短邊趨于零，且與界面垂直，如圖 210。由靜電場的保守性得 （ 256） 或 （ 257） ? 兩式稱為 電場切向分量的邊界條件 E1 ?2 1 ?1 2 E2 ?l ?h et 圖 210 切向邊界條件 0 ?? lE dc021 ???? lElE tttt EE 21 ?21 EnEn ???? 表明電場強度 E的切向分量在分界面上是連續(xù)的。 同樣，切向邊界條件也可用電位來表示 （ 258） ? 在介質(zhì)分界面不存在自由電荷時，設(shè)分界面兩側(cè)的電場線與法線 n的夾角為 和 ，由式（ 253）和式（ 256）可得 （ 259） ? 邊界條件實質(zhì)上是靜電場基本方程在媒質(zhì)分界面上的一種表現(xiàn)形式。只有同時滿足基本方程和邊界條件的場矢量 D、 E才是靜電場問題的解。 21 ?? ?1? 2?1221112212tantan???? ???nnntntEEEEEE ? 求出空間的所有電荷分布，要求完成不規(guī)則的積分運算，通常是很困難的。促使尋求解決問題的其它途徑，即求解電位所滿足的微分方程。 ? 可根據(jù)靜電場基本方程的微分形式，推導(dǎo)出電位與場源之間滿足的泊松方程和拉普拉斯方程。 在 中，代入 和 關(guān)系式，得 即 （ 260） ???? D ED ?? ????E?????? ??????????? 2)(E??? ??? 2 這就是 電位的泊松方程 。 ? 對于無電荷分布區(qū)域，即 的空間，有 （ 261） 這就是 電位的拉普拉斯方程 。 ? 泊松方程和拉普拉斯方程是二階偏微分方程，在一般情況下不易求解。但是如果場源電荷和邊界形狀具有某種對稱性，那么電位也將具有某種對稱性。這將使電位的偏微分方程簡化為常微分方程，可以用直接積分法求解。 ? 常涉及場域限定在一個有限的范圍內(nèi)。在有限空間區(qū)域內(nèi)，可以有電荷，也可以沒有電荷，但在有限區(qū)域的分界面上都具有一定的邊界條件。 02 ?? ?0??? 這些給定邊界條件下求解場的問題，稱為 邊值問題 。所有這些問題的解決，都?xì)w結(jié)為求解滿足給定邊值的