對(duì)稱性在簡(jiǎn)化積分運(yùn)算中的應(yīng)用論文最終修定(編輯修改稿)
2025-07-11 12:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 于原點(diǎn)對(duì)稱，則 （ 1） 若 ),(),( zyxfzyxf ????? ， ??),( zyx ，則 0),( ????? dVzyxf （ 2） 若 ),(),.( zyxfyzxf ???? ， ??),( zyx ，則 皖西學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 ???????????????? ??? 321 ),(2),(2),(2),( dVzyxfdVzyxfdVzyxfdVzyxf }0),({1 ????? xzyx ， }0),({2 ???? yzyx ， }0),({3 ???? zzyx 類似于二重積分，為方便敘述，三重積分輪換對(duì)稱性的定理與定義如下： 定理 [7] 設(shè)函數(shù) f（ x,y,z)是定義在空間有界區(qū)域Ω上的連續(xù) 函數(shù)，且Ω關(guān)于變量 x,y,z 具有輪換對(duì)稱性，則 ???????????? ?? dVyxzfdVxzyfdVzyxf ),(),(),( 定義 [7] 設(shè) ? 是一個(gè)有界可度量的集合體（ ? 可為空間區(qū)域、空間曲線或曲面塊），且它的邊界光滑，若 ????????? ),(),(,), yxzxzyzyx ，（ ，則稱 ? 關(guān)于變量 zyx , 具有輪換對(duì)稱性。 例 計(jì)算三重積分 ???? xyzdV， 4222 ???? zyx： 解：有題意知， zyx , 關(guān)于 ),( zyx 為奇函數(shù)，由上述定理知 0????? xyzdV 對(duì)稱性在第一類曲線積分中的應(yīng)用 平面上第一類曲線積分的對(duì)稱性定理： 定理 [10] 設(shè)平滑分段光滑曲線 L 關(guān)于 y 軸（或 x 軸）對(duì)稱，且 ),( yxf 在 L 上有定義、可積，則 （ 1） 若 ),( yxf 為關(guān)于 x （或 y ）的奇函數(shù)，則 0),( ??L dsyxf； （ 2） 若 ),( yxf 為關(guān)于 x （或 y ）的偶函數(shù)，則 ?? ?1),(2),( LL dsyxfdsyxf ， )}0(0),{(1 ???? yxLyxL 或 例 設(shè) L是圓周 222 Ryx ?? ，求解 ? ??L dsyxI )32（[12] 解： ?? ??LL dsydsxI32，因?yàn)?L 關(guān)于 x 軸、 y 軸對(duì)稱，且 2x 關(guān)于變量 x 和 y 是偶函數(shù)，由上述推論可得 ?? ?122 4LL dsxdsx 1L 為 L 位于第一象限的部分。 又因?yàn)?30 22202222241)(11 RdxxR RxdxxR xxdsxRRL???????? ??? 故32214 Rdsxdsx LL ??? ?? 對(duì)稱性在積分運(yùn)算中的應(yīng)用 6 當(dāng)曲線 L 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，相關(guān)定理如下： 定理 [11] 設(shè)平面分段光滑曲線 L 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 ),( yxf 在 L 上有定義、可積，則 （ 1） 若 0),(,),(),(, ?????? ?L dsyxfLyxyxfyxf 則）（ 1L 是 L 的上半平面或右半平面部分。 曲線的輪換對(duì)稱性定 理如下 : 定理 設(shè)平面分段光滑曲線 L 關(guān)于 yx, 存在輪換對(duì)稱性， ),( yxf 在 L 上有定義且可積，則 dsyxfdsyxfLL ?? ? ),(),( 對(duì)稱性在第二類曲線積分計(jì)算中的應(yīng) 用 由第二類曲線積分的物理背景為變力做功可知，它與曲線的方向相關(guān)，與上述積分對(duì)稱性的幾種結(jié)論不同，與第二類曲線積分相關(guān)結(jié)論如下。 定理 [12] 設(shè) L 為平面上分段光滑的定向曲線， ),(),( yxQyxP 為定義在 L 上的連續(xù)函數(shù)； （ 1） 當(dāng) L 關(guān)于 x 軸對(duì)稱時(shí)： ①若 ),( yxP 是關(guān)于 y 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxP； 若 ),( yxP 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxPdxyxP ②若 ),( yxQ 是關(guān)于 y 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxQ； 若 ),( yxQ 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxQdxyxQ 軸上半部分在為 xLL1 （ 2） 當(dāng) L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱時(shí)： ①若 ),( yxP 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxP； 若 ),( yxP 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxPdxyxP ②若 ),( yxQ 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxQ； 若 ),( yxQ 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)，則 ?? ?1),(2),( LL dxyxQdxyxQ 軸右半部份在為 yLL1 。 皖西學(xué)院 2021屆本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 （ 3）當(dāng) L 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)： ?若 ),( yxP ， ),( yxQ 關(guān)于 ),( yx 為偶函數(shù)，則 0),(),( ??? dyyxQdxyxPL ?若 ),( yxP ， ),( yxQ 關(guān)于 ),( yx 為奇函數(shù)，則dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP LL ),(),(2),(),(1??? ?? ， 1L 是 L 的上半或右半平面部分。 （ 1） （ 3）證明如下，（ 2）證明方法類似于（ 1），此處不做重復(fù)。 證明 （ 1）若 L 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，設(shè) 軸上方和下方的部分在分別是和 xLLL 21 ，且令],[),(:),(: 121 xxxxxfyLxfyL ???? ,則 ① ??????????????21122121))](,())(,([))(,())(,(),(),(),(xxxxxxLLLdxxfxPxfxPdxxfxPdxxfxPdxyxPdxyxPdxyxP? 若 ),( yxP 為 y 的偶函數(shù)，則 0),( ??L dxyxP 若 ),( yxP 為
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