【文章內容簡介】 滿足模型要求。因此，我們也可以從數據變換的角度來考慮改進措施，即在運用指數平滑法以前先對數據作一些技術上的處理，使之能適合于一次指數平滑模型，以后再對輸出結果作技術上的返回處理，使之恢復為原變量的形態(tài)。差分方法是改變數據變動趨勢的簡易方法。 一、一階差分 — 指數平滑模型 當時間序列呈直線增加時，可運用一階差分 — 指數平滑模型來預測。其公式如下： 其中的▽為差分記號。（ ）式表示對呈現直線增加的序列作一階差分，構成一個平穩(wěn)的新序列；（ ）式表示把經過一階差分后的新序列的指數平滑預測值與變量當前的實際值迭加，作為變量下一期的預測值。 二、二階差分 — 指數平滑模型 當時間序列呈現二次曲線增長時，可用二階差分 — 指數平滑模型來預測，其公式如下： ▽ 2表示二階差分，與一階差分 — 指數平滑模型類似。 差分方法和指數平滑法的聯合運用，除了能克服一次指數平滑法的滯后偏差之外，對初始值的問題也有顯著的改進。因為數據經過差分平穩(wěn)化處理后，所產生的新序列基本上是平穩(wěn)的。這時，初始值取新序列的第一期數據對于未來預測值不會有多大影響。其次，它開拓了指數平滑法的適用范圍，使一些原來需要運用配合趨勢線方法處理的情況可用這種組合模型來取代。但是，對于指數平滑法存在的加權系數 α 的選擇問題，以及只能逐期預測問題，差分 — 指數平滑模型也沒有改進。 第 5節(jié) 自適應過濾法 ? 自適應過濾法與移動平均法、指數平滑法一樣，也是以時間序列的歷史觀察值進行某種加權平均來預測的，它要尋找一組“最佳”的權數，其辦法是先用一組給定的權數來計算一個預測值，然后計算預測誤差，再根據預測誤差調整權數以減少誤差。這樣反復進行，直至找出一組“最佳”權數，使誤差減少到最低限度。由于這種調整權數的過程與通信工程中的過濾傳輸噪聲的過程極為接近，故稱為自適應過濾法。 自適應過濾法的基本預測公式為： （ ） 式（ ）中： 為第 t+1期的預測值； wi為第 ti+1期的觀測值權數； yti+1為第 ti+1期的觀測值； N為權數的個數。 ???????? ????????NiitiNtNttt ywywywywy1111211?1??ty 其調整權數的公式為： （ ） 式中： i=1,2,… ,N ， t=N,N+1,… ,n. n為序列數據的個數 wi為調整前的第 i個權數 wi180。為調整后的第 i個權數 k稱為學習常數； ek+1為第 t+1期的預測誤差。 式（ ）表明：調整后的一組權數應等于舊的一組權數加上誤差調整項，這個調整項包括預測誤差、原觀測值和學習常數等三個因素。學習常數 k的大小決定權數調整的速度。 112 ??????? itiii yekwwN、 K值和初始權數的確定 在開始調整權數時，首先要確定權數個數 N和學習常數 k。一般說來，當時間序列的觀測值呈季節(jié)變動時， N應取季節(jié)性長度值。如序列以一年為周期進行季節(jié)變動時，若數據是月度的，則取 N=12,若季節(jié)是季度的 ,則取 N=4。如果時間序列無明顯的周期變動，則可用自相關系數法來確定，即取 N為最高自相關系數的滯后時期。 k的取值一般可定為 1/N,也可以用不同的 k值來進行計算，以確定一個能使 S最小的 k值。 初始權數的確定也很重要，如無其它依據，也可用 1/N作為初始權系數用，即 ? ?NiNw i ,3,2,11 ?????? 自適應過濾法有兩個明顯的優(yōu)點 :一是技術比較簡單，可根據預測意圖來選擇權數的個數和學習常數，以控制預測。也可以由計算機自動選定。二是它使用了全部歷史數據來尋求最佳權系數。并隨數據軌跡的變化而不斷更新權數，從而不斷改進預測。 第 6節(jié) ARMA模型簡介 設 為一個隨機時間序列，即對每個固定的 t， 是一個隨機變量。如果 滿足下述條件： 1） ，（ 為常數） 2） ， 則 稱為平穩(wěn)序列， 稱為自協方差函數 (Autocovariances Function)。 稱為自相關函數 (Autocorrelation Function)。 ),2,1( ??ty tty ty??)( tyE ?。,2,1 ??tktkt yyE ??? ???? ))((),2,1,0( ????kty k?0??? kk ?滑動平均（ MA）模型 若序列值 yt是現在和過去的誤差的線性組合，即 （ ） 則稱（ ）為序列值 的 q 階滑動平均模型，相應的序列 稱為滑動平均序列， q稱為滑動平均的階數， 稱為滑動平均參數，簡記此模型為MA(q)模型。 是白噪聲序列或誤差序列，它滿足 1） 2) 3） 條件 3）說明， 時刻的誤差 與 的過去值 無關。并且還假定 服從正態(tài)分布 。 qtqtttt UUUUy ??? ????? ??? ?2211tytyq??? , 21 ?tU0)( ?tUE??????s t0s t)( 2ustUUE?0)( ??itt yUEt tU tyity?tU ),0( 2uN ?為了簡便起見，引入后移算子 L ，使得 1?? tt ULU，mttm UUL?? 則式（ 3 . 6 . 1 ）可化為： tqqtqqtttt ULLLULULLUUy )1(221221 ?????? ?????????? ??令 qq LLLL ???? ????? ?2211)( 則ty可寫為 tt ULy )(?? （ 3 . 6 . 2 ） 滑動平均序列ty的自協方差函數和自相關函數 由定義我們很容易計算ty的自協方差函數和自相關函數 )1()()(22122221120 quqtqttttUUUUEyE ??????? ??????????????? （ 3 . 6 . 3 ） ???????????????????????????????????????qkqkkUUUUUUUUEqkqkkuquqktqktktktqtqtttk01)(0)1()])([(11222221222112211????????????????????? （ 3 . 6 . 4 ） ? 用 去除 可得 ? （ ） ? 由（ ）式知 MA（ q）序列的自相關函數序列的前 q項是非零的， q＋ 1項以后的各項全為零，即它是截尾的。 ?????????????????????qkqkkqqkqkkk0110122111??????????0? k? MA （ q ） 模 型 的 可 逆 性 為 了 直 觀 地 研 究 MA （ q ） 模 型 的 可 逆 性 ， 給 出 它 的 可 逆 性 條 件 ， 我 們 從 MA （ 1 ） 模 型開