時(shí)間序列平滑預(yù)測(cè)法(1)-資料下載頁
2025-05-15 09:32本頁面
【正文】 ARMA)模型 A R M A （ p,q ）模型的平穩(wěn)可逆性條件 如果作用于 A R M A （ p,q ）的滯后算子多項(xiàng)式0)( ?L?，0)( ?L?的根均在單位圓外，且)( L?和)( L?無公共因子，則稱 A R MA （ p,q ）模型是平穩(wěn)可逆的。由此，我們得到 A R M A（ p,q ）模型的平穩(wěn)可逆域： 凡使得 A R M A （ p,q ）模型tt ULyL )()( ?? ?中0)( ?L?，0)( ?L?的根均在單位圓外，且)( L?和)( L?無公共因子，其相應(yīng)的自回歸與滑動(dòng)平均的系數(shù)向量Tp ),( 21 ???? ??與Tq ),( 21 ??? ???所構(gòu)成的集合稱為 A R M A （ p,q ）模型的平穩(wěn)域和可逆域。 A R M A 模型的自相關(guān)函數(shù) A R M A （ p,q ）模型識(shí)別的主要問題是用自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)來確定階（ p, q ），為此首先討論 A RM A 模型序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)。實(shí)際上， A R M A （ p,q ）序列的自相關(guān)函數(shù)就是 AR （ p ）序列與 MA （ q ）序列自相關(guān)函數(shù)的混合物，當(dāng) p ＝ 0 時(shí)，它是“截尾的”，當(dāng) q ＝ 0 時(shí)，它是“拖尾的”。當(dāng) p ， q 都不為零時(shí)，它具有“拖尾”性質(zhì)。 自回歸滑動(dòng)平均 ( A R M A ) 模型的估計(jì) 在 A R M A （ p,q ）模型中，總共有p??? , 21 ? ,2u? q??? , 21 ?等1?? qp參數(shù)需要估計(jì)。如果該模型中的誤差序列tU是服從正態(tài)分布的，我們就可以以最小二乘法和極大似然法來估計(jì)這些參數(shù)。 在此只介紹 極大似然法 估計(jì)這些參數(shù)的基本方法和計(jì)算公式，具體推導(dǎo)過程可以參考有關(guān)文獻(xiàn)。 第一步：首先估計(jì)k?，其估計(jì)值),2,1(? pkk ???是 ???????????????????????????????????????????????????????pqqqqpqpqpqqqpqqqp??????????????????????????????212111121???????? 其中k??是樣本的自相關(guān)函數(shù)，它由觀測(cè)值來計(jì)算。 第二步，令 ptptttt yyyyy ??? ????? ??????~2211 ? 則tY~的自相關(guān)函數(shù)可以由tY的自相關(guān)函數(shù)k??表示。 記 ?????????????pjikijjipjijkttjikttkyyEyyE0,0,1??)~~(??)~~(? ?????? 則 ?????pjikijjik0,??? ???? 第三步，將 A R M A （ p,q ）模型改寫成 qtqtttt UUUUy ??? ???? ??? ?2211~ 則上式構(gòu)成一個(gè) MA 模型。由估計(jì) MA 模型參數(shù)的基本方法，求出,2u?q??? , 21 ?的估計(jì)值。 自回歸滑動(dòng)平均 ( A R M A ) 模型的檢驗(yàn) 如果我們所建立的模型是一個(gè) A R M A （ p ,q ）模型，那么模擬的誤差就應(yīng)該是一個(gè)白噪聲序列。也就是說，誤差序列是一個(gè)均值為零，方差相同和彼此不相關(guān)的隨機(jī)序列，即通常所說的殘差，它可以通過模型計(jì)算得到。 假設(shè) A R M A 模型的形式為 tt ULyL )()( ?? ? 那么殘差可以由它的逆轉(zhuǎn)形式計(jì)算得到 ???????01 ?)(?)(??jjtjjtt yLyLLU ??? 上面討論的序列的識(shí)別、估計(jì)和檢驗(yàn)問題都是在假定時(shí)間序列滿足平穩(wěn)性的情況下進(jìn)行的，但是，在實(shí)際中 很多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列不滿足這種假設(shè)，這就需要把非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列來研究。常用的轉(zhuǎn)化方法是差分的方法。設(shè)原序列為tZ，稱ty是tZ的第 d步差分序列，即 1)1( ????? tttt ZZZLy 這就是一階差分。當(dāng) 2?d 時(shí)，212 2)1(?? ????? ttttt ZZZZLy稱為二階差分。差分后的時(shí)間序列，用 A R M A 模型取擬合，稱它為階是（ p ,d, q ）的 A R M A 模型。記為 A R M A （ p,d,q ）。 A R M A 模型 預(yù)測(cè)的計(jì)算 假設(shè)有一平穩(wěn)可逆的 A R M A 模型，它可以表示為三種等價(jià)形式： tt ULyL )()( ?? ? （ 3. 6. 31 ） ????????11)?1()()()(jtjjtttyLyLLyLU ???? （ 3. 6. 32 ） ????????11)1()()()(jtjjtttULULLULy ???? （ 3. 6. 33 ） 如果我們考慮向前l(fā)步預(yù)測(cè)，也就是說，用現(xiàn)在時(shí)刻t及以前時(shí)刻的序列觀測(cè)值?, 1?tt yy，對(duì)未來時(shí)刻lt ?的序列l(wèi)ty ?的值進(jìn)行估計(jì)。 現(xiàn)在我們假設(shè)以時(shí)刻t為起點(diǎn)，l步的預(yù)測(cè)值為)(? ly t，并假設(shè) ????? ?? 22110)(? tttt yCyCyCly （ 3. 6. 34 ） 顯 然 這 種 預(yù)測(cè) 是 線性的 ， 選 擇 系數(shù)jC， 使 得誤 差)(?)( lyyl tltt ?? ??的 方 差22 )](?[))(( lyyElEtltt ?? ??的平方最小。于是就稱)(? ly t為線性最小方差預(yù)測(cè)。 A R M A 模型的預(yù)測(cè)誤差及置信區(qū)間的計(jì)算 由前面的推導(dǎo)可知，當(dāng)*jljl ?? ? ??時(shí)，l步的預(yù)測(cè)誤差為： 1111)(?)(?????? ?????? tlltlttltt UUUlyyl ??? ? 于是可以推得 221212 )1())((ult lE ???? ????? ? 由上式可知，預(yù)測(cè)的步數(shù)越多，預(yù)測(cè)誤差的方差就越大。 根 據(jù) A R M A ( p,q) 模型的傳遞形式 )()()( 1 LLL ??? ?? ty可以表示為： ??????0)(jjtjttUULy ?? 令1?l得到一步預(yù)測(cè)的方差為： 2212 )()]1([utt UEE ?? ?? ? 同理可得二步、三步預(yù)測(cè)的方差分別為： 22/1212 )1()]2([utE ??? ?? 22/122212 )1()]3([utE ???? ??? 對(duì)于2u?的估計(jì) 一般是使用建立的模型進(jìn)行殘差計(jì)算，再以殘差平方和為基礎(chǔ)進(jìn)行估算，其公式是： qpnUnttu????? 122??? 這里n是通過平穩(wěn)化后的有效樣本容量。由此可知，l步預(yù)測(cè)值的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤差的置信區(qū)間，即置信水平為 6 ％的置信區(qū)間為： uljjtly ?? ?)?1()(?2/1112????? 置信水平為 95 ％的置信區(qū)間為： uljjtly ?? ?)?1()(?2/1112?????? 置信水平為 ％的置信區(qū)間為： uljjtly ?? ?)?1(3)(?2/1112?????? 當(dāng)l較大時(shí)，置信區(qū)間就較大，因此預(yù)測(cè)精度就低。
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